Il problema classico della duplicazione del cubo!

Cari lettori del Tamburo, oggi scopriremo un classico problema matematico dell'antichità: la duplicazione del cubo.
Esso costituisce infatti, insieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della quadratura del cerchio, uno dei 3 problemi classici della geometria greca.
Sussiste un'affascinante leggenda legata al nostro problema, leggenda narrata in una lettera di uno pseudo-Eratostene a Tolomeo III, detto anche Tolomeo Evergete I, faraone egizio vissuto attorno al 250 a.C. e noto per un'altra vicenda.
Quando costui partì per la guerra, sua moglie Berenice si tagliò infatti i capelli, come voto per il suo ritorno.
Il suddetto gesto ispirò il nome della costellazione Chioma di Berenice.
Di seguito un paio di immagini che la illustrano:

Ritornando alla lettera, la leggenda in essa narrata coinvolge il noto re Minosse, colui che fece costruire il Labirinto di Cnosso (legato al mito del mostruoso Minotauro).

Egli fece erigere una tomba cubica per suo figlio Glauco, ma non appena vide il lavoro compiuto, gli sembrò troppo piccola.
Ordinò pertanto che se ne raddoppiasse il volume, raddoppiandone il lato. Senza accorgersi, ovviamente, che raddoppiare il lato di un cubo in realtà ne aumenta il volume di 8 volte, non di 2!
Tuttavia, i suoi geometri se ne accorsero e cercarono, invano, di risolvere il dilemma, che divenne famoso appunto come duplicazione del cubo.
Un'altra leggenda, simile e risalente all'incirca al medesimo periodo, venne riportata dal vero Eratostene di Cirene nell'opera intitolata Platonico.
Il problema della duplicazione del cubo è infatti noto pure come "problema di Delos", in riferimento all'isola greca omonima, patria del dio Apollo, in cui si trovava un santuario in suo onore.
Uno degli attributi divini di Apollo era la cura delle malattie, con particolare riferimento alla peste, che di tanto in tanto comportava la decimazione della popolazione greca.
Il mito narrato da Eratostene racconta infatti della spedizione di una delegazione di ateniesi all'oracolo di Apollo, nell'isola di Delos, al fine di trovare una soluzione che mettesse fine una volta per tutte a quella pandemia.
L'oracolo replicò che la peste sarebbe terminata qualora si fosse raddoppiato l'altare cubico del dio Apollo.
Di primo acchito, gli ateniesi provarano a duplicare le dimensioni dell'ara, ma ciò non risolse il problema: l'altare, lontano dal raddoppiarsi, incrementò il proprio volume di 8 volte!
Si decise allora di consultare il sommo Platone, secondo il quale la geometria era una necessità propedeutica per chiunque.
Il filosofo replicò che il dio di quell'oracolo non aveva richiesto un altare doppio per porre termine alla peste di Atene, bensì aveva biasimato i Greci per la loro indifferenza e la loro mancanza di rispetto nei confronti della geometria intesa come scienza dello spirito.
I pitagorici sapevano che il quadrato costruito sulla diagonale di un altro quadrato ha un'area doppia rispetto al primo, ovvero sapevano "duplicare il quadrato" tramite la costruzione della radice quadrata di 2.
Tale problema appare nel dialogo Menone di Platone.
Ergo, sembra naturale che, prendendo come riferimento generale lo spazio, si abbia la duplicazione del cubo mediante la costruzione della radice cubica di 2, il che equivale a risolvere l'equazione




Il problema della duplicazione del cubo è realmente non risolubile se viene richiesto di risolverlo soltanto mediante l'uso della riga e del compasso.
Se si abbandona questo stretto vincolo, il problema è perfettamente risolvibile e in svariati modi.
Il primo a ricondurre il suddetto problema all'inserzione di 2 medie proporzionali fu Ippocrate di Chio (470-410 a.C.).
Dopo di lui, numerosi matematici affrontarono la questione.
Per esempio, Pappo di Alessandria descrisse diverse "soluzioni" nel libro III della Collezione matematica, ed Eutocio di Ascalona fece altrettanto nel suo Commentario a uno dei più importanti trattati di Archimede, ossia Sulla sfera e sul cilindro.
Tra i tentativi di risoluzione del problema va annoverato anche quello di Archita di Taranto (428-347 a.C.).
Costui fu un esimio matematico pitagorico, che si impegnò con successo in politica e ricevette persino l'omaggio di Orazio nelle sue Odi, in cui il poeta romano lo lodò come invincibile militare.
Uno dei discepoli di Archita fu nientemeno che Platone, a cui inculcò una riverenza quasi sacra verso la matematica.
Ad Archita si attribuisce la classificazione dei 4 rami del Quadrivium medievale:

1) l'aritmetica: che studia i numeri a riposo;
2) la geometria: che studia le grandezze a riposo;
3) la musica: che studia i numeri in movimento;
4) l'astronomia: che studia le grandezze in movimento.

Come geometra, Archita fu pioniere nella valutazione dello studio della stereometria, o geometria dello spazio tridimensionale, applicandola in modo superbo e sorprendente proprio alla soluzione del problema di Delos.
Scopriamo tale risoluzione, utilizzando il moderno linguaggio della geometria analitica (introdotta da Cartesio nel 1637, nel saggio intitolato Geometria, incluso nel celebre testo Discorso sul metodo).

Indichiamo con la lettera a il lato del cubo da duplicare e consideriamo un sistema di coordinate cartesiane di origine O.
Sia ora C = (a, 0, 0) il centro di cerchi aventi raggio a e giacenti in piani perpendicolari agli assi del sistema cartesiano.
Attraverso il cerchio di centro C perpendicolare all'asse delle ascisse, si va a costruire un cono circolare retto con vertice nell'origine.
Attraverso poi il cerchio di centro C giacente nel piano degli assi x e y si fa passare un cilindro.
Infine, il cerchio che giace nel piano Oxy viene fatto ruotare intorno all'asse z, in maniera tale da dar vita ad un toro (di tori abbiamo già parlato qui sul Tamburo).
Le equazioni delle 3 superfici descritte sono rispettivamente:







Esse vanno ad intersecarsi in un punto la cui ascissa è ${\displaystyle a{\sqrt[{3}]{2}}}$.
Dunque la lunghezza di questo segmento rappresenta il lato del cubo desiderato.
Se si pensa che Archita pervenne alla medesima conclusione senza l'uso delle coordinate cartesiane, ciò dovrebbe far capire la straordinarietà delle sue ricerche geometriche.
Altri notevoli contributi inerenti al problema della duplicazione del cubo si dovettero a Nicomede (280-210 a.C.), Erone di Alessandria (10-70 d.C.) e, soprattutto, Menecmo (350 a.C. circa), in relazione all'introduzione delle sezioni coniche.

Sezioni coniche: circonferenza (in giallo), ellisse (in rosso), parabola (in blu), iperbole (in verde)

Il problema classico (cioè cercare la risoluzione con solo riga e compasso) continuò a far scervellare i matematici per secoli.
La parola fine al dilemma giunse nel 1837.
Infatti, nel suddetto anno il matematico francese Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848), servendosi dei lavori sulle equazioni algebriche di un altro collega scomparso in età prematura, ovvero il norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), dimostrò quello che si sospettava già e che abbiamo già anticipato: il problema della duplicazione del cubo non poteva essere risolto unicamente con gli strumenti platonici, la riga e il compasso.
Visto che abbiamo tanto parlato di leggende, concludiamo in musica con un bel brano di Ennio Morricone tratto dal film "The legend of 1900", noto in Italia come "La leggenda del pianista sull'oceano"; trattasi di Playing Love nella versione al violoncello di Yo-Yo Ma:

Alla prossima!

Comunque vada...

Comunque vada volevo ricordarvi due detti popolari molto saggi.

Chi è causa del suo mal, pianga se stesso

Mal voluto non è mai troppo

Buona fortuna, italiani!

P.S. Non so neppure quanti e quali dei partiti che appaiono in queste foto parteciperanno effettivamente alle elezioni. Comunque troppi.

Bon compleann, Juhan!

o come si dice a Piobes!
(m'arcomando, le "o" si leggono "u")

Sì, si può dire genetliaco, ma io preferisco: FESTA!

Archibald mi ha preceduto...

A mia discolpa posso solo dire che da quando è finita la pioggia (e il vento, e la neve...) siamo occupati buona parte del giorno con la potatura della vigna (la prima parte l'abbiamo fatta a dicembre, ma poi tra feste, impegni di vario genere e tre settimane di maltempo abbiam dovuto soprassedere temporaneamente). Poi, ovvio, quando torniamo a casa siamo un pochiniiino a pezzetti, non abbiamo più settant'anni! mica come certi giovinotti di cui non dico il nome, che sono ben lungi dal compierli!

Invidia a parte,

TANTI AUGURI, JUHAN!!!

Genetliaco (si dice così?)

Si vede che ultimamente non sono molto in linea (e non sto parlando di ciccia, maligni!).
Mi stava quasi per sfuggire che oggi è il compleanno del fondatore di questo blog, il nostro JUHAN! 

Allora, tutti insieme: Auguri, Juhan!

Parole parole parole

In questi giorni ci sono state più polemiche del solito a proposito di alcuni concetti che vengono espressi ovviamente con parole... il fatto è che spesso vengono usate le parole sbagliate, per cui a volte anche i concetti vengono un po' confusi. Proprio oggi leggevo, riportato da un'amica, un testo il cui autore confonde chiaramente etníe con razze, parlando della composizione nei secoli delle popolazioni in Italia, che come si sa sono una mescolanza e sovrapposizione di parecchie etníe ma anche di razze.

Analizziamo le parole (immagini tratte da Wikipedia in italiano, potete leggere lì tutta la voce di cui queste sono un estratto)

Non sono completamente d'accordo con le definizioni ufficiali di cui sopra, del resto risultato di modifiche recenti in nome del "politically correct".

Specie per me è quella di tutti gli uomini, razza è una delle possibili suddivisioni in base al patrimonio genetico (un'altra suddivisione genetica, che già si tende a eliminare nelle definizioni, con effetti a volte comici, è quella tra uomo e donna!), mentre etnía è un insieme di persone, anche di varie razze, unite da una storia,  una lingua e tradizioni comuni. Non è sovrapponibile, come credono alcuni, a nazione, perché in una nazione possono essere presenti varie etníe, come hanno dimostrato molti conflitti anche recenti.

Per fare un esempio concreto: questo personaggio

 e questo

appartengono alla stessa specie e sottospecie Homo sapiens sapiens, appartengono alla stessa etnía (cittadino statunitense, di lingua angloamericana) ma appartengono, è evidente, a razze differenti, cioè hanno un patrimonio genetico che per alcuni geni si differenzia, oppure (si sa ancora troppo poco, credo, in materia) potrebbe anche essere che i geni siano identici ma disposti sui cromosomi in modo diverso per cui hanno prevalenza fenotipica (somatica) alcuni piuttosto che altri.

Volerlo negare in base a una presunta correttezza mi pare un segno del razzismo più bieco: i bambini prescolari, nella loro ingenuità nel senso di genuinità, magari si chiedono -se a livello cosciente lo notano- il perché l'amico X ha la pelle scura mentre l'amico Y l'ha chiara, perché l'amica Z ha la pelle chiara ma gli occhi neri contrariamente a Y che li ha azzurri... però a parte questa superficiale curiosità non fanno alcuna differenza né graduatorie tra le persone... finché gli adulti insegnano loro a farne.
Vi ricordate la vecchia barzelletta del tizio che dice all'amico "Ho due cavalli perfettamente identici, non riesco a distinguere tra di loro chi sia Ron e chi sia Mel..."? Bene, l'amico gli chiede "Ma avranno qualche particolarità che li distingue, no?" "Macché, stessa lunghezza di coda e di criniera, stessa altezza al garrese, galoppano alla stessa velocità, hanno per amica la stessa capretta". Qualche tempo dopo, incontrandosi nuovamente, l'amico chiede "Come hai risolto il problema di sapere chi è Ron e chi è Mel?" "Ah, almeno per un po' di tempo il problema è risolto, quello bianco si è ferito ed è fasciato, mentre quello nero non ha nulla".
Ecco, per i bambini è così, non hanno bisogno di dichiararsi antirazzisti perché non lo sono. Chi ha bisogno di dichiararsi tale è chi le differenze le nota e come!

Altro esempio: un norvegese biondo con gli occhi azzurri e uno spagnolo ugualmente biondo con gli occhi azzurri hanno sicuramente in comune la specie, la razza ma non l'etnía.

Volete un altro esempio di diversità genetiche? vi siete mai chiesti perché, nei film, nei libri ma anche nella realtà, la polizia esaminando le prove lasciate sul luogo del delitto può dire la razza di chi l'ha commesso?  Ecco la risposta, basta un capello:

Insomma, a parte le paranoie di chi non vuol essere accusato di razzismo, a quanto pare esistono  tre razze umane: nera, caucasica e orientale. Questo ovviamente non influisce affatto sulle etníe, perché il continuo spostamento e incrocio tra i popoli delle varie razze fa sì che in tutte o quasi le etníe ci siano rappresentanti di più razze. Se tuttora si possono distinguere a prima vista alcune razze è perché o l'individuo ha una discendenza più diretta, con meno incroci (magari a causa dell'isolamento dell'etnía), oppure perché alcuni geni sono dominanti su quelli recessivi e quindi vengono espressi somaticamente.

Queste differenze genetiche e somatiche sono destinate ovviamente a sparire col tempo e le generazioni: in uno spazio limitato, mescolando acqua calda e acqua fredda finiremo con l'avere solo acqua tiepida...
Inutile dire che questo "rimescolío" di geni rende la specie umana più ricca e più resistente, come purtroppo dimostra la sua inarrestabile espansione a spese delle altre specie e dello stesso pianeta.

Ma poi perché voler differenziare? quando sappiamo che la nostra specie attuale, Homo sapiens sapiens, è di per sé già un ibrido (che un tempo erroneamente si riteneva impossibile ed eventualmente sterile) tra Homo sapiens e almeno Homo neanderthalensis, probabilmente anche Homo denisovianus e Homo floresiensis. Non mi stupirebbe che le tre attuali razze, i cui confini si fanno sempre più evanescenti, siano proprio dovute al fatto che H. neanderthalensis a quanto pare non si incrociò con le popolazioni africane di H. sapiens, e che H. floresiensis lasciò tracce in Indonesia (anche genetiche?).

Insomma, il demonizzare l'uso di alcune parole sostituendole con altre di significato affine ma non uguale (es. operatore ecologico per spazzino o netturbino), mi ricorda sempre l'agghiacciante "diversamente abile" usato per definire sia persone con alcun impedimento fisico o mentale (che in genere hanno altre definizioni eufemistiche), sia mooolto piu spesso certi poveri pezzi di carne, incapaci di intendere e di volere e anche semplicemente di nutrirsi, che hanno sì diritto alla nostra pietà e aiuto, ma non certo a una definizione di "abile"!