L'incubo dei dentisti: la spugna di Menger

Non fatevi ingannare dal titolo; non parleremo di odontoiatria, bensì di matematica!
Ebbene sì, la spugna di Menger è un oggetto matematico molto particolare, nello specifico trattasi di un oggetto frattale.
Per chi non li conoscesse bene, cercherò di presentare l'argomento in modo conciso, chiaro e semplice.
I frattali sono oggetti geometrici, introdotti dal matematico polacco naturalizzato francese Benoît Mandelbrot (1924-2010), che presentano un'incredibile peculiarità: l'autosimiglianza.
Che significa?
In parole povere, un oggetto frattale può presentarsi identico a prima anche osservato su proporzioni differenti.
Comunque si guardi un frattale, ovvero a qualunque scala di grandezza lo si osservi, esso apparirà sempre uguale a come era prima.
Non è una magia, è pura matematica!
Uno dei più celebri oggetti frattali è la cosiddetta curva di Koch, chiamata anche fiocco di neve di Koch, una figura che il matematico Ernesto Cesàro (1859-1906) ha descritto nel 1905 con le seguenti suggestive parole:

"È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di von Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa fra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo."

Ed eccola, in tutta la sua magnificenza, la curva di Koch:

 

Per maggiori approfondimenti sul suddetto oggetto frattale, vi rimando allo splendido post di Annarita, su Matem@ticamente, intitolato "La curva di Koch, un elegante frattale".
Un'altra importante caratteristica dei frattali è la loro particolare dimensione.
Attenzione: con dimensione, in tal caso, non si intende la grandezza, l'imponenza di un oggetto, bensì la dimensione geometrica!
In geometria, un punto ha dimensione 0, una retta ha dimensione 1, un piano ha dimensione 2 e infine lo spazio presenta 3 dimensioni.
I frattali però non rientrano in questa classificazione così armoniosa, visto che la loro dimensione non è rappresentata da un numero intero, bensì da una frazione (dimensione frazionaria).
La dimensione frazionaria, detta anche dimensione frattale, venne introdotta nel 1918 dal matematico tedesco Felix Hausdorff (1868-1942) e fornisce un'indicazione statistica di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio.
Per esempio, la dimensione frattale del fiocco di neve di Koch è pari a 1,261859....
Bene, ora possiamo finalmente scoprire la singolare spugna di Menger.
Immaginate di essere un dentista nel bel mezzo dei propri sogni, o meglio, incubi notturni.

Nel vostro sogno, una paziente si presenta in studio per fare un normale controllo ai propri denti.
Voi (il dentista) preparate accuratamente la strumentazione atta ad effettuare il controllo e una volta pronti chiedete alla signora di aprire la bocca.
Sarebbe stato meglio non dire nulla!
La visione che vi si para davanti è a dir poco shockante.
Nella bocca della signora non vi erano infatti i classici 32 denti, ma un'infinità di denti perfettamente cubici con un numero infinito di cavità da controllare!
Fine dell'incubo! ;)
Tornando seri, la spugna di Menger è appunto un frattale, descritto per la prima volta dal matematico austriaco Karl Menger (1902-1985) nel 1926, che presenta un numero infinito di cavità.

Il blocco rosso è simile all'intera spugna

Come si costruisce tale "spugna"?
Innanzitutto, si immagina un "cubo madre", il quale viene suddiviso in 27 cubi identici più piccoli, come nel cubo di Rubik.
Dopodiché si rimuove il cubo centrale e i 6 cubi che hanno una faccia in comune con esso.
Ne consegue una rimanenza di 20 cubi.
Questo procedimento può essere poi iterato all'infinito, con la conseguenza che il numero di cubi sarà alla fine 20ⁿ, cioè 20 elevato al numero n di iterazioni effettuate sul cubo madre.
Ciò rende palese il fatto che la seconda iterazione produce 400 cubi, la terza 8.000, la quarta 160.000 e così via.

La spugna di Menger ha dimensione frattale pari a 2,7268....
Ciascuna faccia della spugna prende il nome di spugna o tappeto di Sierpiński, anch'esso un frattale ottenuto togliendo da un quadrato diviso in 9 quadrati il quadrato centrale, e ripetendo all'infinito il procedimento in ognuno degli 8 quadrati rimasti.

tappeto di Sierpiński

La dimensione frattale del tappeto di Sierpiński è 1,8927....
Pertanto, mentre il tappeto presenta una dimensione frattale che si colloca tra quella di una retta e quella di un piano, la spugna di Menger ha una dimensione frattale che si pone in mezzo tra quella di un piano e quella di un solido.
A detta dell'Institut for Figuring, in ciascuna iterazione la faccia del tappeto di Sierpiński

"si dissolve in una schiuma, la cui struttura finale non ha area e, tuttavia, possiede un perimetro di lunghezza infinita. Come lo scheletro di un animale la cui carne si è decomposta, la forma conclusiva è priva di sostanza: occupa una superficie piana, ma non la riempie più."

Vi ho riservato delle superlative chicche per la fine.
La matematica può davvero essere presente dappertutto, persino nei videogiochi.
Ebbene sì, pure la spugna di Menger fa la sua comparsa in un videogioco, nello specifico Minecraft, come potete osservare nei video che seguono:

In conclusione, passando dal mondo virtuale a quello reale, la spugna di Menger si può costruire pure tramite la tecnica dell'origami:

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.70, che sarà ospitato dai Rudi Matematici.