I numeri in base diversa da 10

Ci sono 2 padri e 2 figli. Con 3 mele ognuno ha una mela.
OK, lo so che lo sanno quasi tutti: Beppino è figlio di Beppe e Beppe è figlio di Beppone. Ecco, alle volte una cosa che sembra strana, difficile è in realtà molto semplice, come la storia dei numeri in base diversa da 10. Di nuovo? Sì, perché il post sulla roba da matematici  è piaciuto molto (a me è piaciuto e magari anche a qualcun altro, chissà).

Ma c'era dentro una cosa che forse non era spiegata bene. Cioè le cose non spiegate bene erano tante ma quella pare fosse spiegata peggio. Rimedio, forse.

Prendiamo un numero a caso, diciamo 137.

Uepp! 137:

Per una coincidenza assolutamente sconcertante, 2137 è anche la parte finale del numero di telefono della mia prima fidanzata!

e ancora:

– Benissimo – disse il computer. – Comincio subito con una piccola considerazione interessante. Vi siete mai resi conto che la maggior parte delle vite sono governate dai numeri telefonici?

cap. 8 e 12 rispettivamente, i dati del libro li sapete già, ormai: ho letto solo quello. 

Dunque dicevamo 137. Fino a un po' di tempo fa si sarebbe scritto CXXXVII. E sì perché C = 100, X = 10, V = 5 e I = 1 e allora 100 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 137.
Non comodissimo, un giorno a qualcuno (un indiano) venne in mente il sistema posizionale, quello che usiamo noi.
La differenza rispetto al metodo precedente, quello dei romani, è che si usano sempre le stesse cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ma il loro valore cambia a secondo della loro posizione.
Per cui 137 vuol dire 1 * 100 + 3 * 10 + 7 * 1 = 137, appunto.
Facile vero? Grande pensata vero? Sì e sì, secondo me (e credo tutti voi). Difatti questo metodo lo usa tutto il mondo, anche chi non usa le nostre lettere per scrivere, anche i francesi che non hanno le parole per settanta, ottanta e novanta.

I matematici dicono che funziona così:




Se invece di avere 10 diti ne avessimo solo 8 probabilmente useremmo i numeri base 8, gli ottali. Ci sarebbero solo 8 simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Dopo scriveremmo 10 ma leggeremmo "otto". Questo tipo di numerazione era molto in uso quando io ho iniziato a usare i computer.
Ecco la base per i numeri ottali

Oggi gli ottali si usano molto meno, gli informatici preferiscono gli esadecimali, base 16. Abbiamo bisogno di 16 simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Ecco la base

Chiaro fin qui? OK! allora prendiamo il nostro numero, 137, e vediamo come si scrive in ottale:
Il numero nella tabella più grande tra quelli più piccoli di 137 è 64. Allora facciamo 137 / 64 che ci da 2 con il resto di 9. Allo stesso modo dividiamo 9 per il numero in tabella immediatamente a destra di 64, 8 e otteniamo 1, con il resto di 1.
Ecco abbiamo tutte le cifre richieste, 137 base 10 è uguale a 211 base 8.
Facile vero? Proviamo con un numero più grosso, 823'543.
823'543 / 262'144 = 3 con il resto di 37111
37'111 / 32'768 = 1 con il resto di 4343
4'343 / 4'096 = 1 con il resto di 247
247 / 512 = 0 con il resto di 247
247 / 64 = 3 con il resto di 55
55 / 8 = 6 con il resto di 7
quindi 823'543 base 10 è uguale a 3110367 base 8

E adesso consideriamo la base 16
137 / 16 = 8 con il resto di 9
quindi 137 base 10 si scrive 89 base 16.

Similmente per il numero grosso 823'543:
823'543 / 65'536 = 12 con il resto di 37111
37'111 / 4'096 = 9 con il resto di 247
247 / 256 = 0 con il resto di 247
247 / 16 = 15 con il resto di 7
quindi (ricordando che 12 si scrive C e 15 F) 823'543 base 10 diventa C90F7 base 16.

OK? Naturalmente si può fare anche l'inverso. Se abbiamo il numero base 16 ABCDE in base 10 diventa
10*65'536 + 11*4'096 + 12*256 + 13*16 + 14 = 703'710.

Il numero 765432 base 8 in base 10 sarà
7*32'768 + 6*4'096 + 5*512 + 4*64 + 3*8 + 2 = 256'794

OK, capito! Ma bisogna fare tutta questa roba ogni volta? No, c'è la calcolatrice che lo fa per noi: la trovate in Start / Tutti i programmi / Accessori.

Di solito si presenta così

ma basta selezionare Scientifica nel menu Visualizza e siamo a posto

Ecco quando inserite un numero viene usata la base evidenziata, in fugura Dec

attivando un'altra base il numero viene convertito.

Funziona per 16 (Hex), 10 (Dec), 8 (Oct) e 2 (Bin). E per le altre basi? Beh per quelle c'è orion elenzil.

Dai si può fare, volendo; ma è un po come quella cosa di costruire quadrati sull'ipotenusa?
Vedi, i mat (e matici) si divertono così.