Di gruppi e mostri (matematici)

Cari lettori del Tamburo, oggi parleremo di gruppi.
Gruppi musicali?
Si potrebbe discutere anche di quelli, ma andremo invece a vedere una particolare sfaccettatura della parola "gruppo", la quale deriva dal germanico kruppa, traducibile letteralmente come "nodo", "groviglio".
Osserveremo, in particolare, come in matematica il termine "gruppo" sia qualcosa di fondamentale, al punto che esiste una branca denominata teoria dei gruppi, e come tale concetto sia legato a quello di simmetria.
La prima domanda da porci è dunque: cos'è, in matematica, un gruppo?
Risposta breve: un insieme con particolari proprietà.
Risposta argomentata: un insieme dotato di un'operazione (somma o prodotto) che, componendo 2 qualsiasi dei suoi elementi, fornisce come risultato un terzo elemento del gruppo (rispettando specifici assiomi).
Per fare un semplice esempio, costituiscono un gruppo l'insieme di tutti i numeri interi e l'operazione di addizione, giacché la somma di due numeri interi genera sempre un altro intero.
Riporto ora un meraviglioso passo tratto dal libro L'ordine del mondo di Vincenzo Barone, nel quale l'autore spiega in modo magnificamente chiaro la nozione matematica di gruppo associata al concetto di simmetria:

"Ciò che rende davvero potenti le simmetrie è la teoria matematica che sta dietro a esse, la teoria dei gruppi. Fondata dal francese Évariste Galois attorno al 1830 e sviluppatasi nel corso dell'Ottocento grazie soprattutto ai lavori di Arthur Cayley, Camille Jordan e Sophus Lie, questa teoria permette di classificare tutte le simmetrie e di studiarne in maniera sistematica le proprietà. Consideriamo 2 rotazioni nel piano, R₁ e R₂. Se effettuiamo di seguito prima R₁ e poi R₂, il risultato finale sarà equivalente a quello di un'altra rotazione, R₃: in altri termini, componendo 2 rotazioni si ottiene ancora una rotazione. Questa proprietà dell'insieme delle rotazioni è chiamata chiusura. Ad esempio, se componiamo una rotazione R₁ di 30° con una rotazione R₂ di 60°, otteniamo una rotazione R₃ di 30° + 60° = 90°.

Ogni rotazione ammette una rotazione inversa, cioè una rotazione che, per così dire, riporta le cose al punto di partenza, annullando l'effetto della prima. Data una rotazione in senso orario di 30°, per esempio, la rotazione inversa sarà una rotazione in senso antiorario di 30°.

Effettuare prima l'una e poi l'altra equivale a non effettuare alcuna rotazione o, come si dice, a effettuare una rotazione «identica». L'identità è una trasformazione particolare, che non trasforma nulla (cioè lascia tutto com'è). La composizione di una rotazione con la rotazione inversa è quindi uguale all'identità. Questo discorso può essere esteso ad altre trasformazioni: se un insieme di trasformazioni gode delle 3 proprietà che abbiamo illustrato - chiusura, esistenza dell'identità, esistenza dell'inverso - si dice che quell'insieme è un gruppo. Le rotazioni, quindi, formano un gruppo. In generale, tutte le trasformazioni di simmetria formano dei gruppi (i gruppi di simmetria). Un'importante nozione, dovuta al matematico norvegese di inizio Ottocento Niels Abel, è quella di commutatività. Si dice che 2 trasformazioni commutano se il risultato della loro composizione non dipende dall'ordine con cui esse vengono effettuate. Un gruppo i cui elementi commutano fra loro è chiamato abeliano. Per esempio, è facile convincersi che il gruppo delle rotazioni nel piano è un gruppo abeliano. Date due qualunque rotazioni bidimensionali, il risultato della loro composizione è lo stesso indipendentemente da quale delle 2 viene effettuata prima. Il gruppo delle rotazioni nello spazio tridimensionale, invece, è un gruppo non abeliano, come si può vedere in figura.

Introducendo il concetto di sottogruppo, cioè di sottoinsieme di un gruppo che ha esso stesso la struttura di gruppo, è possibile ordinare gerarchicamente le simmetrie. Per esempio, il gruppo di simmetria di un quadrato contiene le rotazioni di 0° (l'identità), 90°, 180°, 270° e le riflessioni rispetto a 4 assi passanti per il centro del quadrato (asse verticale, asse orizzontale e i 2 assi diagonali). Il gruppo di simmetria di un trapezio isoscele è un sottogruppo di quello del quadrato, perché contiene soltanto l'identità e la riflessione attorno all'asse verticale. Diciamo allora che la simmetria del quadrato è più ampia di quella del trapezio isoscele.

Come caso estremo, il gruppo di simmetria di una figura irregolare è il gruppo banale che contiene solo l'identità. Di particolare rilevanza in fisica sono i gruppi di trasformazioni continue, o gruppi di Lie, dal nome di un altro grande matematico norvegese, Sophus Lie. Vediamone alcuni esempi. Il gruppo delle rotazioni nel piano è un gruppo di Lie abeliano chiamato in gergo matematico «gruppo speciale ortogonale SO(2)». Le rotazioni nello spazio tridimensionale formano il gruppo speciale ortogonale SO(3), che, come abbiamo detto, è un gruppo non abeliano. SO(2) è un sottogruppo di SO(3): tra tutte le rotazioni di SO(3), infatti, quelle attorno a un determinato asse corrispondono a rotazioni bidimensionali nel piano ortogonale a quest'asse e appartengono a SO(2). A sua volta, SO(3) è un sottogruppo del cosiddetto «gruppo euclideo» E(3), che contiene, oltre alle rotazioni, le traslazioni. Se in SO(3) includiamo le riflessioni, otteniamo un gruppo più ampio, il gruppo ortogonale O(3) (a causa della presenza delle riflessioni non vale più la proprietà matematica indicata dall'aggettivo «speciale»). Le trasformazioni di Lorentz e le rotazioni costituiscono il gruppo speciale ortogonale SO(3, I), detto anche gruppo di Lorentz. Aggiungendo alle trasformazioni di SO(3, I) le traslazioni spaziali e temporali si ottiene il gruppo speciale ortogonale «disomogeneo» ISO (3, I), o gruppo di Poincaré."

Fra tutti i gruppi di simmetria esistenti, ne esiste uno a dir poco "mostruoso".
Attenzione, non mostruoso in questo senso

ma "mostruoso" in termini di simmetrie.
La storia del gruppo Mostro M (o gruppo di Fischer-Griess) ha inizio nel 1973, quando Bernd Fischer e Robert Griess ipotizzarono l'esistenza di un gruppo che potesse essere visto in ben 196.883 dimensioni.
In sostanza, si può immaginare il gruppo Mostro come un incredibile fiocco di neve con circa 8 · 10⁵³ simmetrie in uno spazio di 196.883 dimensioni.
Un giorno di novembre del 1978, un matematico inglese che abitava a Montréal, di nome John McKay, era preso dalla lettura, nella sua abitazione, di un articolo specialistico inerente alla teoria dei numeri, l'importante branca della matematica che si occupa di numeri interi.
Si trattava, nello specifico, di un lavoro di 2 matematici britannici, Oliver Atkin e Sir Peter Swinnerton-Dyer, relativamente a un misterioso oggetto matematico chiamato funzione j.
McKay, studiando a fondo tale funzione, capì che essa poteva essere espressa attraverso una semplice somma di termini:

Questi rimase sbalordito da ciò che scoprì: il primo numero significativo in quella sequenza crescente di coefficienti è 196.884, una singola unità in più rispetto al più piccolo numero di dimensioni in cui il Mostro può operare in maniera non banale.
Difficilmente poteva trattarsi di una mera coincidenza!
McKay aveva probabilmente scoperto una relazione tra 2 branche totalmente differenti della matematica: la teoria dei gruppi e la teoria dei numeri.
Il matematico scrisse allora una lettera nientemeno che a John Thompson, uno dei massimi esperti nella teoria dei gruppi finiti.
Quest'ultimo prese sul serio l'epistola e incominciò a studiare la possibile relazione sussistente tra il Mostro e la funzione j.
La prima cosa che si poteva fare era osservare la tavola dei caratteri del Mostro, la quale presenta ben 194 righe e altrettante colonne.
Cos'è la tavola dei caratteri di un gruppo?
Trattasi di una tabella quadrata di numeri che va semplicemente a condensare una grossa quantità di informazioni sul gruppo considerato.
Ogni riga della suddetta tabella esprime un modo fondamentale in cui può operare il gruppo in uno spazio multidimensionale, e il primo numero della riga (chiamato grado del carattere) traduce il numero di dimensioni.
I primi due gradi dei caratteri del Mostro sono 1 (rappresentante un'operazione banale in una singola dimensione) e 196.883 (il quale rappresenta un'operazione non banale in 196.883 dimensioni).
Mettendole assieme si ottiene un'operazione non banale del Mostro in 196.884, che, come già detto, designa il primo coefficiente significativo della funzione j.
Thompson cercò allora di capire se anche gli altri coefficienti avrebbero potuto presentarsi in maniera analoga.
Osservando la tabella che mostra simultaneamente i coefficienti della funzione j e i gradi dei caratteri del gruppo Mostro, si può notare una singolare peculiarità: sommando i gradi dei caratteri del Mostro si ottengono i primi coefficienti della funzione j.

Ciò andava a confermare i presentimenti che fosse tutt'altro che una coincidenza il legame tra funzione j e gruppo Mostro.
All'inizio del 1979 Thompson, ritornando a Cambridge, illustrò a John Horton Conway la sensazionale scoperta che aveva compiuto e gli propose: "Se provi con altre colonne potresti ottenere risultati interessanti".
Conway possedeva enormi quantità di dati relativi al Mostro e li utilizzò per produrre altre sequenze numeriche interessanti.
Fece dunque visita alla biblioteca per consultare articoli di teoria dei numeri pubblicati nel XIX secolo e riscontrò che le medesime sequenze apparivano effettivamente in alcuni di quegli articoli.
In "Monsters and Moonshine", articolo pubblicato da Conway, nel 1980, su "The Mathematical Intelligencer", egli dichiarò infatti: "Uno dei momenti più eccitanti della mia vita fu quando, dopo aver calcolato diverse di queste serie, scesi nella nostra biblioteca e ne scoprii alcune nei Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum di Jacobi, con i medesimi coefficienti fino all'ultima cifra decimale!".
Conway lavorando "giorno e notte per 6 intere settimane" e con migliaia di calcoli alle spalle, assieme al giovane matematico Simon Norton, pervenne alla conclusione che esisteva un legame ben preciso tra il Mostro e la teoria dei numeri, anche se non ne comprendeva il motivo.
Il grande matematico definì non a caso l'intera faccenda una "fantasia da lunatici", perché i risultati che stavano ottenendo non erano supportati da alcuna argomentazione logica.
Avevano, a detta di Conway, il senso di misteriosi raggi di Luna che illuminavano folletti irlandesi danzanti.
"Monstrous moonshine", così è stata appunto battezzata quella bizzarra numerologia!
Questo termine potrebbe tra l'altro rimandare alla produzione illegale di alcolici, in particolare il whiskey di grano, dai giorni del proibizionismo americano, visto che, secondo Conway, "sembrava quasi illecito lavorare su queste cose".
Comunque sia, la ragione della profonda connessione tra la funzione j e il Mostro rimane tuttora alquanto elusiva, tuttavia, nel frattempo, si è arrivati a provare l'esistenza del Mostro!
Infatti, il 14 gennaio 1980 Robert Griess (che era stato uno dei primi a congetturarne l'esistenza) annunciò la costruzione del Mostro, impresa monumentale a quei tempi ritenuta impossibile, sul piano pratico, dallo stesso Conway.
Griess ha dichiarato di esser diventato "dipendente" dalla costruzione del Mostro nel 1979, anno delle sue nozze, e che sua moglie è stata "molto comprensiva" durante l'intero periodo in cui se ne è occupato, quando incominciò a lavorare anche 24 ore su 24 e si prendeva una pausa soltanto per il giorno del Ringraziamento o a Natale.
Nel 1982, il suo corposo articolo di 102 pagine sul Mostro (da lui indicato col termine "Gigante Amichevole", nome che non ebbe molto successo in seguito) venne finalmente pubblicato e la comunità matematica mondiale rimase sbigottita dal fatto che egli fosse riuscito a costruire il gruppo senza l'ausilio di un computer.
La denominazione "Friendly Giant" avrebbe peraltro rappresentato un sufficiente riconoscimento, attraverso le iniziali F e G, al suo lavoro e a quello di Fischer.
Griess si espresse con queste parole riguardo all'uso del termine "Mostro":

"Il termine «Mostro» mi richiamava alla mente qualche spietato dittatore, e il mio lavoro era stato un addomesticamento di questo oggetto. Ritenevo quindi che il nome da me proposto avese anche un significato serio, dato che questo era ormai diventato un oggetto amichevole, accessibile. «Mostro» è un nome che spaventerebbe tutti, così che solo i più coraggiosi oserebbero guardarlo."
 
Qualche anno più tardi, precisamente nel 1998, Richard Borcherds venne insignito del massimo riconoscimento per un matematico, la Medaglia Fields, per i suoi contributi alla comprensione del gruppo Mostro e delle profonde connessioni di esso con altre aree della matematica e della fisica.
E a proposito di mostri...

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.77, che sarà ospitato da Paolo Alessandrini, sul blog Mr. Palomar, col tema "Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa".