Di tori e collane matematiche!

Eccomi di nuovo sul Tamburo con un post su strani oggetti della matematica: i tori e le collane.
Qualcuno dei lettori potrebbe aver pensato che parleremo della matematica di animali cornuti e ornamenti femminili.

Vi devo però già svelare una sorpresa: il toro, in matematica, non è un animale, bensì una ciambella!

In effetti, il toro (chiamato anche toroide) è una bizzarra superficie geometrica simile ad una ciambella.
La scoperta di tale forma è più antica di quanto si possa pensare.
Infatti, già ai tempi di Platone, un pitagorico di Taranto, Archita, aveva scoperto una superficie molto particolare, a cui venne dato il nome di speira, ossia "spira".
La denominazione moderna deriva invece dal latino torus, "cordone", che indicava, fra le altre cose, un cuscino a forma di ciambella.
Il toro non è nient'altro che un singolare solido di rotazione.
Un famoso solido di rotazione è il cilindro.
Esso si forma facendo ruotare un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati.

 

 

Tuttavia, si possono ovviamente creare solidi di rotazione anche da forme più particolari rispetto a un rettangolo, come magnificamente illustrato dal seguente video (che, per inciso, ha come sottofondo musicale Clair de Lune di Debussy):

In particolare, un toro viene generato quando una circonferenza, detta (non a caso) generatrice, comincia a ruotare attorno ad un asse situato sul medesimo piano della generatrice.
Ecco uno splendido filmato chiarificatore:

 
Esistono 3 tipologie fondamentali di toro:

1) toro aperto ad anello;
2) toro appuntito a corno;
3) toro autointersecantesi a fuso.

Da cosa dipende questa distinzione in categorie?
Semplicemente dalla posizione dell'asse di rotazione rispetto alla circonferenza generatrice.
Questo asse può essere infatti esterno (toro ad anello), tangente (toro a corno) o interno (toro a fuso) alla generatrice stessa.

C'è tuttavia un ulteriore caso, un caso limite, che si verifica quando l'asse di rotazione diventa equivalente al diametro della circonferenza generatrice.
Cosa diavolo accade?
Il toro si trasforma in una semplice sfera, come potete osservare nell'animazione che segue:

Nella vita quotidiana il toro si può ritrovare nelle fedi nuziali, nelle camere d'aria dei pneumatici, nei salvagenti, nelle mele senza torsolo, negli anelli di pesce fritti, ecc.
La struttura toroidale si può inoltre riscontrare in diversi fenomeni naturali, come nei vortici di sangue generati nel ventricolo sinistro del cuore dal flusso che entra attraverso la valvola mitrale, nei vortici d'aria creati dalle pale di un elicottero, nei vortici di plasma innescati dal campo magnetico di Giove intorno all'orbita del suo satellite Io, ecc.
Un'altra curiosità sui tori: tra il III e il II secolo a.C. un matematico di nome Perseo (come l'eroe mitologico) aveva studiato le cosiddette sezioni spiriche o toriche, ossia quelle ottenute intersecando un toro con un piano in modo analogo a quanto avviene nel caso delle sezioni coniche (quelle che gli studenti di liceo scientifico si apprestano a studiare, sul piano cartesiano, al terzo anno).

Sezioni coniche

Le sezioni toriche sono un tantino più complicate delle sezioni coniche.
In effetti, mentre cerchio, ellisse, iperbole e parabola vengono descritte da semplici equazioni di 2° grado, le sezioni toriche necessitano di formule con elementi elevati alla quarta potenza.
Forse la più celebre di queste curve è la lemniscata di Bernoulli, la quale assomiglia moltissimo al simbolo di infinito.

Lemniscata di Bernoulli

A questo punto vi starete probabilmente chiedendo: ma le collane cosa c'entrano?
Ebbene, esiste un meraviglioso oggetto matematico, chiamato appunto collana di Antoine, rappresentato da catene dentro catene dentro ulteriori catene e così via.
In particolare, la collana di Antoine può essere generata partendo proprio da un toro solido.
Immaginate di sostituire il toro con una catena chiusa di n anelli (anch'essi ovviamente assimilabili a tori).
Immaginate poi di andare a modificare ciascun anello della catena C, in maniera tale che esso diventi, come per magia, un'altra catena chiusa C₁ di n tori solidi.
Iterando ancora questo procedimento, al posto di ogni anello di ciascuna catena C₁ si va a costruire una catena più piccola di tori e si continua il processo all'infinito.
Quando ci si spinge all'iterazione infinita del procedimento, si dà vita a una delicata collana di tori, il cui diametro decresce man mano approssimandosi a 0.
Ed ecco a voi la superlativa collana di Antoine:

Ma chi cavolo è Antoine?
Louis Antoine (1888-1971) è stato un matematico francese che, a soli 29 anni, perse totalmente la vista nel bel mezzo della Prima guerra mondiale.
Dopo l'infausto avvenimento, il celebre matematico Henri Lebesgue consigliò ad Antoine di dedicarsi alla topologia (importante branca della matematica la quale studia le proprietà di figure e forme che non cambiano quando vengono effettuate particolari deformazioni) bidimensionale e tridimensionale, poiché "in tale studio, gli occhi della mente e l'abitudine alla concentrazione rimpiazzeranno la vista perduta".
Bisogna specificare che la collana di Antoine è sì formata a partire da tori, ma, in effetti, essa non contiene alcun toro!
Infatti, rimangono solamente le "perline", cioè le intersezioni di infiniti tori solidi.
Inoltre, essa è stata di fondamentale importanza per il matematico statunitense James Alexander, il quale, basandosi sulle idee di Antoine, arrivò a scoprire la suggestiva sfera cornuta che porta il suo nome (di cui ho parlato in un post, sul blog Scienza e Musica).
Un'ultima cosa: esiste una maestosa opera del grande Johann Sebastian Bach in cui fa capolino il toro topologico.
Sto alludendo alle Variazioni Goldberg, pubblicate per la prima volta nel 1741.
Le Variazioni Goldberg sono un'opera composta da Bach appositamente per il clavicembalo.
Trattasi, in particolare, di un'aria costituita da ben 30 variazioni e formata in totale da 32 brani.
Ogni brano (o meglio, movimento) è a sua volta formato da 32 battute ripetute 2 volte.
Le Variazioni Goldberg possiedono appunto la particolarità di presentarsi alla stregua di una versione musicale del toro matematico.
Il toro, come avete potuto notare, è un cerchio di cerchi, creato da un cerchio che si muove lungo un altro cerchio.
Ciò che si può constatare all'interno delle Variazioni Goldberg sono infatti cerchi sia nella dimensione del tempo che nella dimensione dell'altezza dei suoni.
Incredibile come Bach sia riuscito a creare una commistione perfetta tra musica sublime e topologia!
Non mi resta che riportarvi il video con le Variazioni Goldberg, in versione integrale, eseguite da András Schiff.

Alla prossima!


Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.64, che verrà ospitato dal tamburista Marco Fulvio Barozzi sul blog Popinga.