Breve viaggio nello strano mondo non euclideo!

Sono passati solamente 4 giorni da quando vi ho trascinato, in questo post, nello strambo universo della Meccanica Quantistica.
Ora vorrei ancora una volta parlarvi di roba che va contro la comune intuizione e i tradizionali insegnamenti scolastici.
Tutti quanti abbiamo accumulato nel nostro bagaglio culturale delle certezze insradicabili, come il fatto che 1 + 1 sia uguale a 2, che l'area di un rettangolo sia base per altezza, che la lunghezza di una circonferenza sia 2πr, che il teorema di Pitagora (non scoperto da Pitagora; ecco che una "certezza" se ne va già via!) riguardi solamente i triangoli rettangoli, ecc.

Tra queste certezze potremmo annoverare anche il seguente postulato:

"Dato un punto e una retta, passa per il suddetto punto una e una sola retta parallela alla retta di partenza."

Quello appena scritto è il famosissimo postulato delle parallele o V postulato di Euclide.

Tutti d'accordo sulla sua esattezza e ovvietà, vero?
Adesso però cambiamo prospettiva!
Prendete una sfera.
Fatto?
Me la prendo anch'io una bella sfera:

Proviamo a giocare, sulla sfera, con la geometria.
Come possiamo raffigurare una retta sulla nostra sfera?
Ebbene, su una sfera, una retta diventa un cerchio e non un cerchio qualsiasi, ma un cerchio massimo.
Che diavolo significa?
Un cerchio massimo (o, se vi piace l'inglese, great circle) è un cerchio che si ottiene sezionando la sfera con un piano che passa per il centro della sfera stessa.
Ecco un'immagine che rende tutto più chiaro:

Provate ora a immaginare o disegnare 3 cerchi massimi sulla sfera.
Otterrete un triangolo!

Di che razza di triangolo si tratta?
Sapete che nella "normale" geometria euclidea esistono differenti tipologie di triangolo: equilatero, iscoscele, scaleno, rettangolo, ottusangolo, acutangolo.
Ma cos'è che accomuna tutte queste differenti categorie?
Direi che è questa proprietà: la somma degli angoli interni di un qualsivoglia triangolo è pari a 180°.
Un quesito: ciò vale anche per il triangolo raffigurato sopra la nostra sfera?
La risposta è NO!
Soccorrete Euclide; sta svenendo! ;)

La somma degli angoli interni di un triangolo su una sfera è infatti sempre maggiore di 180°.
Non ci credete?
Guardate qui allora:

Convinti?
Bene, state guardando il mondo sotto una nuova e affascinante prospettiva!
Non abbiamo però finito con le sorprese regalateci dalla sfera (altro che Babbo Natale!): sulla sfera, dato un punto e una retta, non passa per il punto nemmeno una retta parallela a quella data!
In altre parole, sulla sfera non esistono le rette parallele!
D'altronde 2 rette (o meglio, 2 cerchi massimi) si intersecano sempre!
Non sorprende allora la nascita, nel XIX secolo, per mano del grande matematico tedesco Bernhard Riemann (1826-1866), della cosiddetta geometria sferica, un modello (appunto) di geometria non euclidea.
Adesso, continuando la narrazione, farò svenire il povero Euclide una seconda volta!
Sapete che la geometria sferica non è l'unico modello di geometria non euclidea?
Esiste infatti pure la cosiddetta geometria iperbolica, e se vogliamo capirla dobbiamo prendere (o immaginare) una sella da cavallo.

Su questo particolare oggetto, così come sulla sfera, le nozioni geometriche tradizionali vengono stravolte.
Innanzitutto, il V postulato di Euclide viene modificato in tal modo:

"Data una retta r e un punto P ad essa disgiunto, esistono almeno 2 rette distinte passanti per P e parallele a r."

Questo significa che, su una sella da cavallo, le rette parallele ad una retta r di partenza, passanti per un punto non appartenente a r, possono essere addirittura infinite.
Un'ultima cosa: vi ricordate che nella geometria sferica la somma degli angoli interni di un triangolo diventa maggiore di 180°?
Ebbene, nel caso della geometria iperbolica succede un'altra "magia" altrettanto incredibile: la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di 180°.

This is the end: diamo quindi un po' di acqua e zucchero ad Euclide e facciamolo rinsavire!
La sua geometria avrà sempre un ruolo fondamentale, ma da oggi (se non l'aveste già fatto) cominciate a pensare che il nostro Universo (come ha riscontrato anche Einstein) si poggia anche e soprattutto sulle geometrie non euclidee.
Se desiderate poi approfondire, vi rimando qui e qui.
Ah, a proposito di cavalli, vi lascio con l'esecuzione di Andrè Rieu del "White Horse Inn":

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.60 sul blog Il gloglottatore.