Cavallucci marini in geometria: gli spidron

Ispirato dal tema "Famolo strano", proposto dai Rudi Matematici per il Carnevale della Matematica n.82 (che sarà online il 14 febbraio sul blog dei Rudi), cari lettori del Tamburo, vi farò scoprire cavallucci marini in geometria!

Detta così sembra un'affermazione strana e bizzarra, ma tutto sarà chiaro e limpido tra poco.
I protagonisti della nostra narrazione sono particolari figure geometriche piane dette spidron.
Come si crea uno spidron?
Niente di complicato: disegnate un triangolo equilatero, dopodiché tracciate i segmenti dai 3 vertici al centro, generando in questo modo 3 triangoli isosceli uguali.
Fatto?
OK, ora dovete disegnare un'immagine speculare di uno qualsiasi di questi triangoli isosceli, in maniera tale che essa poggi esternamente su un lato del triangolo col quale siamo partiti.
A questo punto si disegna un nuovo triangolo equilatero più piccolo, usando come base uno dei 2 lati corti del triangolo isoscele sporgente.
Questa semplice procedura va iterata fin quando volete, ottenendo una struttura a spirale di triangoli, i quali diventano sempre più minuscoli.
Alla fine, si elimina il triangolo equilatero di partenza e si collegano 2 di queste strutture facendo combaciare il lato lungo del triangolo isoscele maggiore.
Voilà: avrete davanti un poligono che assomiglia alla coda di un cavalluccio marino!

Se immaginassimo di essere una formica che si sposta lentamente lungo le regioni più profonde della coda del cavalluccio, vedremmo che l'area di qualsiasi triangolo equilatero è equivalente alla somma delle aree di tutti i triangoli più piccoli.
In altri termini, l'insieme infinito dei triangoli più piccoli potrebbe essere interamente stipato al suo interno senza alcuna sovrapposizione.
Il primissimo spidron si deve all'artista grafico Dániel Erdély, realizzato come parte di un compito presentato al corso di teoria delle forme tenuto, nel 1979, da Ernő Rubik, all'Accademia d'arte di Budapest.
Tuttavia le sperimentazioni di Erdély erano già incominciate nel 1975.
Nel 2004 Erdély affermò a proposito della sua grande scoperta:

"Continuo a pormi domande...È possibile che io abbia scoperto qualcosa che può portare a nuovi modelli teorici, formule geometriche e forse anche a una serie di applicazioni fino a quel momento inedite? Oppure ne esagero la portata? Mi sono dedicato così a lungo a quelle sequenze di triangoli da iniziare a vedere in loro ogni sorta di cose? Anche cose con cui non hanno nulla a che fare?"

Quello che è sicuro è che gli spidron possono presentarsi in un'ampissima varietà di versioni e possiedono rilevanti proprietà spaziali, tra cui la peculiare capacità di formare diversi poliedri che riempiono lo spazio e schemi di tassellatura.
Dallo spidron derivano infatti altri elementi utili alla tassellazione del piano e dello spazio, tra cui:

• il semispidrone; 
• lo spidron belt;
• lo spidron arm;
• lo spidron nest; 
• lo spidron relief.

Il semispidrone è semplicemente la metà di uno spidron.

Semispidrone in 2D

Lo spidron belt (cintura-spidrone) è una figura piana costituita da un esagono regolare dentro al quale si sviluppano 6 spidron che ne ricoprono totalmente lo spazio. Una tassellazione che risulta possibile anche inscrivendo nell'esagono una stella a 6 punte e dopodiché iterando (all'infinito) l'operazione nell'esagono all'interno di ciascuna stella.

Lo spidron arm (braccio-spidrone) è praticamente la versione spaziale del semispidrone, un semispidrone in 3D insomma, che si ottiene piegando i lati dei triangoli componenti la figura bidimensionale.

Semispidrone in 3D (spidron arm)

Dagli spidron arm si possono ricavare tassellazioni note come spidron nest (nido-spidroni).
Uno spidron nest esagonale è praticamente uno spidron belt in cui gli spidroni piani sono stati deformati in spidron arm, cioè in figure tridimensionali.

Esistono anche gli spidron nest a 4 bracci, che tuttavia risultano non deformabili, a differenza di quelli esagonali.

Svariati spidron belt adiacenti determinano poi i cosiddetti subnest (sottonidi).
Se invece vengono connessi più spidron nest fra loro si ottiene una forma a fisarmonica, organizzata secondo una griglia esagonale: lo spidron relief.
In essa i bordi esterni degli assemblamenti di spidron tendono ad allontanarsi dal piano di riferimento, dando luogo a terminazioni che combaciano l'una sull'altra

 

 

 

Spidron relief

Insomma, gli spidron possono essere protagonisti di intere gallerie d'arte geometrica.
Guardate ad esempio che meraviglia sono i solidi platonici "spidronici":

Oltre alla bellezza estetica, gli spidron possono vantare anche applicazioni pratiche, ad esempio in pannelli fonoassorbenti e negli ammortizzatori di alcune tipologie di macchinari.
Concludiamo con uno splendido video sui nostri cavallucci marini preferiti della matematica:

Alla prossima!