Happy Xmas 2020!

Auguro a tutti i tamburisti e ai lettori del Tamburo Riparato un sereno e felice Natale!!!

Il 2020 è stato decisamente un anno fuori dal comune e si spera che la situazione particolare che stiamo tutti quanti vivendo si stia avvicinando al suo termine.

Come tradizione, accendiamo un po' di musica!

- Incominciamo con 25th of the 12th di Bill Compton:

 - Continuiamo con una cover al violino del noto pezzo Last Christmas dei Wham! da parte di Alan Milan (noto anche come ItsAMoney):

- È giunto il momento di Joy To The World, grande classico natalizio la cui melodia è basata nientemeno che sul Messia di Händel. Ascoltiamo la versione di Katrina Velarde, straordinaria interprete filippina:

- Andiamo avanti con The Christmas Waltz interpretato da Marc Martel (che si potrebbe definire il Freddie Mercury del XXI secolo) e Amy Grant:

- È il momento della super hit di Mariah Carey, All I Want For Christmas Is You, ma in versione jazz per opera dell'eccezionale Scott Bradlee (padre fondatore dei mitici Postmodern Jukebox):

- Non può mancare la "divina" voce del soprano Ingeborg Hallstein, in duetto con Heinz Hoppe, in Weihnachtslieder, una selezione di canti di Natale.

-  A proposito di grandi voci, ascoltiamo l'Ave Maria di Caccini-Vavilov. Quest'aria ha una storia molto simile a quella del noto Adagio di Albinoni/Giazotto, giacché per un certo periodo è stata erroneamente attribuita al compositore barocco Giulio Caccini, ma in realtà fu composta da Vladimir Vavilov intorno al 1970. Quella che andiamo a sentire è la magistrale versione dell'incredibile cantante canadese Ginette Reno:

 - E per concludere un'altra voce "divina", quella della canadese Celine Dion, la vera grande erede della Reno (su YouTube è possibile trovare anche un emozionante duetto tra le due; cliccate qui). Siccome mi resta difficile scegliere un brano in particolare, vi riporto l'intero album These Are Special Times, uno dei migliori album natalizi di sempre, in cui la voce della Dion è in uno dei momenti apice della lunghissima carriera (già solo la versione di O Holy Night qui presente parla da sola...):

Prima di congedarmi, compio un'ulteriore iterazione di AUGURI DI BUONE FESTE!!!

Alla prossima!

Il Cifrario Dorabella

Il Carnevale della Matematica di dicembre (n.145) verrà ospitato tra pochi giorni (il canonico giorno 14 del mese) dal padre fondatore del Carnevale, nonché pure tamburista, Maurizio .mau. Codogno su le Notiziole di .mau.
Il tema previsto è “Lettere”.
Cosa potrebbe mai associare le lettere alla matematica?
Beh, gran parte della matematica di un certo livello è in un certo senso basata quasi più sulle lettere che sui numeri (è sufficiente pensare alle equazioni).
Poi ci sono pure le “lettere speciali”, quelle costanti matematiche spesso presenti in un modo o nell’altro come pi greco, il numero di Nepero (e), la costante di Eulero-Mascheroni (indicata con la lettera greca gamma minuscola) e così via.
Ho tuttavia intenzione di affrontare questa particolare tematica in un modo un tantino meno scontato, parlando di un singolare cifrario e quindi di crittografia.
La crittografia ha origini davvero antiche. Già per esempio Erodoto, famoso storico greco del V secolo a.C., raccontava nelle sue Storie di un metodo per inviare messaggi segreti tatuando la testa rasata degli schiavi. Ecco non vi immaginate una roba del genere per favore!😂

Si trattava di una tecnica impiegata da Istieo, tiranno di Mileto, nella guerra contro i Persiani.
Semplicemente il messaggio segreto risultava nascosto non appena i capelli ricrescevano!
Potreste però chiedervi cosa c’entrino dei codici o messaggi segreti con la matematica.
Beh, pensate per esempio che lo stesso utilizzo dei programmi di un computer deriva da una sequenza di algoritmi (o codici) realizzati in appositi linguaggi di programmazione; alcuni di questi algoritmi sono persino in grado di risolvere complessi problemi matematici come sistemi lineari (e non lineari), approssimazioni di funzioni, integrali, ecc.
Se questo non dovesse bastare, pensate all’importanza che ha avuto la decifrazione del codice tedesco Enigma da parte del brillante matematico Alan Turing nel bel mezzo della Seconda guerra mondiale. Una vita quella di Turing terminata purtroppo in modo orribile per via del fatto che era omosessuale e, ai tempi, ciò era considerato fuori legge e severamente punibile.
Se avete voglia di approfondire, potete leggere (cliccando qui) il post che scrissi tempo fa sul mio blog personale Scienza e Musica relativamente alla storia e ai contributi essenziali di Turing, oltre che all’inaccettabile sua fine.
Nei tempi relativamente recenti si parla addirittura di crittografia quantistica che sfrutta alcune peculiarità di questa straordinaria teoria della fisica al fine di poter realizzare un cifrario perfetto.
Prima di giungere al vero protagonista del presente post, è bene evidenziare che sussiste una sottile differenza tra la parola “codice” e la parola “cifrario” in ambito crittografico.
I cifrari sono sistemi per mascherare il significato di un messaggio, sostituendo CIASCUNA delle singole lettere nel messaggio con altri simboli.
I codici, invece, vanno ad attribuire un maggiore rilievo al significato rispetto ai caratteri e tendono a sostituire intere parole o frasi in base a un elenco contenuto in un testo (per esempio un libro ove vengono raccolti e registrati i codici).
Il nostro protagonista è il cosiddetto Cifrario Dorabella.
Perché ho scelto di parlarvi di questo cifrario tra la miriade esistente? Il motivo è per la sua forte attinenza con la musica. Lo capirete tra pochissimo...
Incominciamo a dire che si tratta di un testo cifrato comprendente 86 caratteri totali, di cui 24 diversi.
Ciascun simbolo è costituito da una serie di semicerchi connessi, orientati in 8 direzioni.

Ma come diavolo nacque questo testo a dir poco astruso?
Ebbene nel luglio del 1897 il grandissimo compositore inglese Edward Elgar e sua moglie Alice vennero invitati a visitare il reverendo Alfred Penny e sua moglie alla canonica di Wolverhampton.
A seguito di tale soggiorno, Elgar scrisse una nota di ringraziamento alla famiglia.
Inclusa nella lettera c’era una nota destinata alla figlia ventitreenne Dora Penny. La suddetta nota era proprio quello che oggi chiamiamo Cifrario Dorabella! Elgar era infatti un grande appassionato di crittografia; scrisse anche diversi articoli inerenti a tale argomento.
La stessa Dora asserì di non essere mai riuscita a decifrare lo strambo messaggio nascosto ed Elgar non rivelò mai il significato ivi contenuto.
La nota, oltretutto, venne alla luce solo nel momento in cui Dora scrisse la memoria Edward Elgar: Memories of a Variation nel 1937.
Va poi detto che Elgar e Dora rimasero amici sino alla morte del compositore, che le dedicò persino una delle sue celebri Variazioni Enigma: Dorabella.
Le Variazioni Enigma op. 36 furono composte tra il 1898 e il 1899 e sono costituite da un tema principale, oltre che, ovviamente, da sue 14 variazioni.
La Variazione 10 - Dorabella è un intermezzo (allegretto) che ricorda stilisticamente un po’ Tchaikovsky.
Potete ascoltarla di seguito nella versione della BBC Symphony Orchestra diretta dallo straordinario Leonard Bernstein. 

Il lettore curioso a questo punto vorrà sapere se il messaggio racchiuso nel Cifrario Dorabella sia mai stato decodificato.
Prima di rispondere a questo interrogativo, notiamo che una delle difficoltà principali nella decifrazione del suddetto cifrario risiede nella sua brevità.
Infatti se da una parte il numero di simboli distinti suggerisce che si tratti di un semplice codice a sostituzione, dall’altra parte il testo cifrato è troppo breve per poter essere sottoposto all’importantissima tecnica dell’analisi della frequenza.
Il filosofo e matematico arabo Abū Yūsuf Yaʿqūb ibn Isḥāq al-Kindī (801-873), nel manoscritto intitolato Sulla decifrazione dei messaggi crittografici, escogitò appunto uno schema basato sulla frequenza delle lettere all’interno di una lingua per riuscire a decifrare i messaggi.
Il fondamento dell’analisi della frequenza può essere compreso osservando le tessere delle lettere nel noto gioco da tavolo Scarabeo (che in tempi recenti ha fatto la sua comparsa nell’intensa e pluripremiata serie televisiva The Handmaid’s Tale).

Uno studio svolto dalla Cornell University su 40.000 parole inglesi ha evidenziato che la lettera “e” è di gran lunga la lettera più comune.
Come può questa informazione aiutare un decifratore?
Beh, sapendo quale lettera è la più comune nelle parole di una lingua, allora immaginando che in un codice questa lettera venga sostituita per esempio da un’altra lettera, poniamo la “z” (ma va bene quella che preferite), allora questa “z” all’interno di un codice cifrato dovrebbe comparire con maggiore frequenza delle altre e venir dunque tradotta come “e”.
Ma il Cifrario Dorabella è, come già detto, troppo corto per affidarsi a tale tecnica.
Alcuni decifratori, tra cui Javier Atance, sostengono addirittura che tale cifrario non sia una forma di scrittura, bensì un vero e proprio brano musicale codificato, in cui gli orientamenti rappresentano le note mentre i semicerchi denotano le note naturali, i bemolle e i diesis.
Uno dei tentativi più autorevoli di rinvenire una soluzione è stato effettuato dal musicologo Eric Sams nel 1970.
Nello specifico, in un articolo intitolato Elgar’s Cipher Letter to Dorabella pubblicato su Musical Times, Sams ipotizzò che Elgar fece uso di una combinazione di sostituzione, fonetica e lettere greche per celare il suo messaggio.
L’interpretazione del messaggio da parte di Sams è, nello specifico, la seguente:

STARTS: LARKS! IT'S CHAOTIC, BUT A CLOAK OBSCURES MY NEW LETTERS, A, B [alpha, beta, ie Greek letters or alphabet] BELOW: I OWN THE DARK MAKES E. E. SIGH WHEN YOU ARE TOO LONG GONE.

Sams aggiunse inoltre che il mistero celato in tale cifrario potrebbe essere la chiave del tema nascosto delle Variazioni Enigma, tema che non conosciamo affatto!
Addirittura, nel 2007, la Elgar Society indisse una competizione sul Cifrario Dorabella, con un premio di 1500 sterline in occasione del 150° anniversario dalla nascita del compositore.
Nessuno si aggiudicò il premio! Nessuna delle decifrazioni proposte venne infatti ritenuta convincente.
Un’altra ipotesi proposta fu che il Dorabella costituisca un cosiddetto cifrario pigpen, dove le lettere risultano sostituite da simboli che rappresentano posizioni in una griglia semplice.
Tony Gaffney (noto con lo pseudonimo di Jean Palmer) ha suggerito che il messaggio faccia uso di un codice pigpen con sostituzioni (la cosiddetta soluzione Hellcat):

“B (Bella) hellcat i.e. war using?? hens shells is why your antiquarian net diminishes hem sorry you theo oh ’tis God then me so la do e (Elgar) adieu.”

Insomma esiste una moltitudine di soluzioni proposte per l’enigma del Cifrario Dorabella ma ancora oggi il suo vero significato è considerato ignoto. Magari qualcuno in futuro riuscirà a coglierne il vero significato, ma per ora permane l’aura di mistero.
Dato che abbiamo parlato di Elgar, non posso non concludere il post con un po’ di sua musica.
Vi segnalo 2 brani particolarmente suggestivi del grande compositore.
Il primo è Pomp and Circumstance op.39 n.1, una celebre marcia composta nel 1901 ed utilizzata anche nel film Disney Fantasia 2000 per musicare la leggenda dell’arca di Noè (con protagonista Paperino). Ascoltiamo e osserviamo proprio tale magnifica versione.

Il secondo brano è tratto dalle già citate Variazioni Enigma ed è la struggente Variazione n.9 (un adagio) denominata Nimrod, dedicata a August Johannes Jaeger, miglior amico di Elgar. Ascoltiamo la stupenda versione della London Philharmonic Orchestra diretta da Sir Adrian Boult.

Alla prossima!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fonte essenziale: De/Cifrare di Mark Frary.

L'effetto fotoelettrico e l'effetto Auger

Cari lettori del Tamburo, il tema del prossimo Carnevale della Matematica (che verrà ospitato il 14 ottobre da Roberto Zanasi sul suo blog Gli studenti di oggi) avrà come tematica portante “Viaggi, anche interstellari, eros, thanatos, Bacco e Venere, e drammi vari”.

Ho voluto prendere spunto, in modo abbastanza particolare, dal primo pezzo di tema citato, quello dei viaggi, per potervi parlare di qualcosa di singolare che avviene nel mondo degli atomi e delle particelle: l’effetto Auger.
Infatti scopriremo un “viaggio forzato” degli elettroni negli atomi sottoposti ad alcune condizioni particolari.
Diciamo sin da subito che il suddetto effetto ha un ruolo estremamente rilevante nell’ambito della spettroscopia.
Cos’è la spettroscopia?
In parole povere la spettroscopia è lo studio dell’interazione tra materia e radiazione ed è diventata lo strumento più comune per studiare in modo rigoroso i materiali.
Evolvendo dalla dispersione prismatica della luce visibile, la spettroscopia moderna si fonda sull’interazione di fasci irradiati sui materiali.
Entro la metà del XX secolo, divenne ovvio che la composizione chimica delle superfici e delle interfacce nelle dimensioni atomiche determina svariate proprietà dei materiali.
Per esempio, la corrosione e l’ossidazione, usura e attrito e le proprietà elettroniche dipendono fortemente dalla microchimica della superficie e dell’interfaccia.
Si innescò dunque una crescente domanda per l’analisi nella scala dello strato atomico.
Ciò portò a un rapido sviluppo dei metodi dell’analisi delle superfici basati sulla spettroscopia a ioni ed elettroni.
La spettroscopia ad elettroni Auger (abbreviata AES) fu la primissima tecnica usata per l’analisi delle superfici dei solidi, seguita dalla spettroscopia fotoelettronica a raggi X (abbreviata XPS).
Affinché possiate comprendere in pieno cosa sia l’effetto Auger è necessario però che io compia un breve excursus sull’effetto fotoelettrico.
Una superficie (solitamente) metallica in alto vuoto, investita da una radiazione di frequenza sufficientemente elevata, emette elettroni.
Questo è l’effetto fotoelettrico.

L’effetto fotoelettrico venne osservato per la prima volta da Heinrich Hertz nel 1887.
Il vuoto è necessario affinché gli elettroni non collidano con un’atmosfera di molecole troppo densa.
Ci sono 3 osservazioni fondamentali (dovute essenzialmente agli esperimenti compiuti da Philipp Lenard nel 1902) da compiere in merito a tale fenomeno:

1) l’effetto ha luogo solo se la frequenza della radiazione incidente supera un certo valore di soglia ν₀. Tale soglia fotoelettrica dipende dal metallo usato. L’emissione degli elettroni avviene istantaneamente a seguito dell’irraggiamento.

2) Gli elettroni escono dal metallo con un’energia cinetica che va da 0 a un certo valore massimo T_M. Questo valore è direttamente proporzionale alla differenza tra la frequenza incidente ν e la frequenza di soglia ν₀ caratteristica del materiale. La costante di proporzionalità è la stessa costante h trovata da Planck per interpretare lo spettro del corpo nero (se volete saperne di più leggete qua):

3) Il numero di elettroni emesso per unità di tempo e di superficie (ossia la corrente elettronica) è proporzionale all’intensità della radiazione incidente (a parità) di frequenza, mentre l’energia degli elettroni emessi risulta indipendente da tale intensità.

L’interpretazione classica non riesce assolutamente a spiegare questo fenomeno.
Questo perché dal punto di vista dell’elettromagnetismo classico (che descriveva la maggior parte dei fenomeni noti sino al 1900) l’onda elettromagnetica trasmette energia in modo continuo.
Invece per interpretare correttamente il fenomeno serve il concetto di quanto, introdotto da Planck nel 1900.
Il mitico Albert Einstein, durante il suo “annus mirabilis”, cioè il 1905, ha proprio elaborato un’interpretazione dell’effetto fotoelettrico fondata sul quanto.
Ironia della sorte è che tale studio (un po’ meno noto al grande pubblico rispetto alla sua teoria della relatività, prima ristretta, poi generale) gli valse il Nobel per la Fisica nel 1921, mentre per la relatività non gli fu assegnato alcun premio!
Per Einstein la radiazione, nel processo di assorbimento, si comporta come se fosse composta da particelle, dette fotoni (termine reso popolare dal chimico Gilbert Newton Lewis nel 1926), con energia pari a:

dove ν è la frequenza del fotone.
Il flusso (cioè il numero) di fotoni è ovviamente proporzionale all’intensità dell’onda, per considerazioni energetiche.
Un elettrone viene emesso interagendo con un singolo fotone.
Per poter capire cosa sia l’effetto Auger ci serve anche introdurre la struttura elettronica di un materiale (per semplicità assumiamo sempre che sia un metallo).
Quella che segue è un’immagine che ben la rappresenta in modo generico.

Tutto quel rettangolo che vedete in basso va a rappresentare i cosiddetti livelli energetici di core. Essi rimangono immutati.
Gli elettroni di core sono chiamati in tal modo perché si trovano negli orbitali o livelli atomici ad energia più bassa, il che corrisponde ad essere più vicini al nucleo (core) e più legati all’atomo.
Indichiamo con la generica lettera E l’energia degli elettroni all’interno del metallo.
Possiamo poi definire uno 0 che corrisponde all’energia di vuoto (nella figura il vacuum level), ossia l’energia di elettroni che sono fermi (a riposo), appena fuori dalla superficie metallica. Al di sotto di tale energia avremo i vari livelli energetici.
Il livello di vuoto rappresenta l’ultimo livello corrispondente ad uno stato legato, ovvero tutti gli stati elettronici al di sotto del suddetto sono stati legati, cioè, in altre parole, l’elettrone è legato al materiale.
I livelli energetici al di sopra del livello di vuoto sono infatti corrispondenti ad elettroni che sono liberi di lasciare il materiale.
Pertanto gli elettroni fotoemessi sono elettroni che hanno livelli energetici al di sopra del livello di vuoto.
Se immaginiamo un elettrone al di sopra di tale livello, la differenza di energia tra il livello considerato e il livello di vuoto denota l’energia cinetica dell’elettrone che si sta allontanando indefinitamente dal materiale.
Se guardate bene, nel mezzo della figura c’è una linea tratteggiata. Beh questa è molto importante e va a designare il cosiddetto livello energetico di Fermi E_F.
Ora allo zero assoluto (0 kelvin) avremo sostanzialmente che ciò che sta al di sotto del livello di Fermi sono livelli energetici occupati da elettroni, mentre andando al di sopra della suddetta linea troveremo tutti stati energetici vuoti.
Se però assumiamo una temperatura elevata, per esempio 1000 K, c’è una probabilità piccola (ma non nulla!) che, per eccitazione termica, qualche elettrone riesca a giungere sino al livello di vuoto.
Questi sono proprio gli elettroni che, avendo sufficiente energia, riescono a scappare dal potenziale attrattivo degli ioni del metallo e uscire dalla lamina creando una corrente termoionica.
Il discorso appena compiuto non è campato in aria a caso ma dipende da uno specifico strumento matematico che viene chiamato distribuzione di Fermi-Dirac.
Se ricordate, avevamo brevemente parlato del teorema spin-statistica in un post (cliccate qui).
Vi basti ora sapere (dato che i dettagli vanno ben oltre lo scopo puramente divulgativo del presente post) che quella di Fermi-Dirac è la statistica che governa le particelle chiamate fermioni (famiglia di cui l’elettrone fa appunto parte), mentre la statistica che regola i bosoni è detta di Bose-Einstein.
Ma nell’immagine di prima c’è da constatare la presenza di un ulteriore importante fattore: la funzione lavoro (o lavoro di estrazione) Φ.
È facile intuire che (assumendo E = 0 come livello di vuoto) essa è equivalente alla differenza E - E_F, cioè alla distanza che sussiste tra il livello di vuoto e quello di Fermi.
La funzione Φ rappresenta dunque la minima barriera che gli elettroni devono superare per poter uscire dal materiale ed essere liberi di allontanarsi da esso.
Per quasi tutti i materiali essa è stimata dell’ordine di 4-5 elettronvolt.
Dovrebbe essere adesso chiaro che se l’energia di un singolo fotone è inferiore a questa quantità, esso non può estrarre alcun elettrone.
In tal modo viene compresa la soglia fotoelettrica a cui si faceva riferimento prima.
Inoltre è immediatamente spiegato il perché l’emissione avviene subito pure a intensità basse della radiazione incidente.
Infatti istantaneamente alcuni elettroni entrano in collisione con alcuni fotoni.
Anche l’osservazione 2) data all’inizio del post viene giustificata, giacché l’energia cinetica massima con cui l’elettrone esce è pari alla differenza tra l’energia del fotone incidente e la funzione lavoro.
In simboli la formula proposta da Einstein era:

La frequenza di soglia viene quindi interpretata come la frequenza minima che deve avere la radiazione affinché l’energia di un fotone sia almeno pari all’energia necessaria per estrarre un elettrone.
Gli elettroni escono con energie minori della massima in quanto perdono energia, dopo aver assorbito il fotone, dentro il solido, prima di uscire da esso.
L’analisi di tale distribuzione delle energie degli elettroni uscenti fornisce oggi un importante strumento per studiare la dinamica degli elettroni nei cristalli.
Infine, il numero di elettroni emessi è proporzionale al numero di fotoni incidenti, ovvero all’intensità dell’onda incidente, poiché tale è la probabilità che ha un elettrone di assorbire un fotone e venire liberato.
Questo numero è naturalmente indipendente dall’energia di ciascun fotone, cioè dalla frequenza della radiazione, mentre l’energia degli elettroni uscenti è indipendente dal numero di fotoni, ossia dall’intensità dell’onda incidente.
Siamo finalmente pronti per entrare nel vivo della narrazione.

La spirale di Archimede

Dato che il Tamburo sembra essere tornato in attività (evviva!), mi sembra giusto farlo partecipare dopo tanto tempo ad un Carnevale della Matematica.
Sul mio blog principale in questi ultimi mesi sto approfondendo il tema delle curve e degli integrali curvilinei (gli interessati possono cliccare qui e qui per i primissimi post sul tema).
Il Tamburo però mi sembra il posto giusto per parlare di un semplice esempio di curva: la spirale di Archimede.
Qualcuno potrebbe pensare che sia un po' scontato discutere di una spirale e di uno dei matematici più famosi di sempre, ovvero Archimede di Siracusa.

Tuttavia questa curva geometrica ha una storia molto singolare che vorrei raccontarvi.
Nel 1906 uno studioso danese, J. L. Heiberg, trovò a Costantinopoli una vecchia pergamena contenente una raccolta di preghiere del XIII secolo.
Adesso starete forse pensando che sono impazzito: cosa diavolo c'entra tutto ciò con la matematica?
Abbiate per favore un attimo di pazienza!
Allora questa pergamena era composta da 185 fogli e l'aspetto interessante sta nel fatto che quelle preghiere rappresentavano solamente ciò che si vedeva chiaramente sulla superficie della suddetta pergamena.
Infatti, tutti questi fogli originariamente contenevano altri scritti che erano stati cancellati, attraverso l'uso della pietra pomice, un po' come si fa oggi con la matita, che consente di scrivere un testo e cancellarlo per dar spazio ad un nuovo testo.
La cancellazione di quegli scritti assai antichi non era tuttavia totale e ciò permise ad Heiberg, con paziente cura e attraverso rigorosi metodi fotografici, di ricostruire i testi originali presenti sulla pergamena, tra cui numerosi trattati di Archimede.
Vi era contenuto anche il trattato denominato "Sulle spirali", in cui veniva studiata in modo approfondito la spirale che prenderà appunto il nome di "spirale di Archimede".
Ammiriamola in tutta la sua magnifica eleganza:

Senza entrare nei dettagli troppo tecnici, diciamo che questa curva nel piano presenta un'equazione parametrica del tipo




dove a è un numero reale positivo, mentre t rappresenta il cosiddetto parametro della curva.
C'è da notare che così come l'elica in 3D presenta un passo, cioè la minima distanza tra 2 punti dell'elica che giacciono sulla stessa verticale, lo stesso concetto è presente per la spirale archimedea.
In particolare il passo della spirale ha un valore ben definito che è 2πa.
Un'altra cosa interessante è il fatto che Archimede abbia introdotto la spirale al fine di risolvere il problema di rettificazione della circonferenza.
Che significa rettificazione?
Trattasi semplicemente del problema di determinare, con il solo aiuto di riga e compasso, un segmento che presenti una lunghezza uguale a quella di una circonferenza di un dato raggio.
Le spirali di Archimede vantano poi un sacco di applicazioni pratiche.
Per esempio vengono utilizzate nei sistemi di proiezione DLP (acronimo per Digital Light Processing) per minimizzare il cosiddetto "effetto arcobaleno", che è la percezione di flash rossi, verdi e blu che si manifesta specialmente quando l'immagine proiettata presenta aree in forte contrasto tra loro (per esempio colori chiari e scuri) oppure la percezione di oggetti luminosi (bianchi) in moto su uno sfondo nero.
Di seguito un video che mostra come questo effetto si manifesta per esempio in una scena di un film.

Si utilizza proprio la spirale archimedea per far in modo che i vari colori sembrino proiettati simultaneamente, quando in realtà essi compiono un ciclo estremamente rapido.

Ruota cromatica

 

 

Addirittura a questa straordinaria curva geometrica ci si riferisce pure in microbiologia del cibo al fine di quantificare la concentrazione batterica attraverso un piatto a spirale.

Insomma uno dei tanti contributi del celebre matematico siracusano continua a mostrare la sua importanza non solo in ambito strettamente matematico, ma pure in contesti davvero assai particolari.
Un'ennesima dimostrazione del fatto che la matematica stia veramente dappertutto.
Alla prossima!
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n. 139 ospitato su MaddMaths!

Una cantante stratosferica!

Cari lettori del Tamburo, vorrei presentarvi una nuova scoperta nella mia costante ricerca di musica di altissimo livello: trattasi della soprano tedesca Ingeborg Hallstein (nata a Munich nel 1936).
Definire la sua voce "stratosferica" è veramente riduttivo!
È un vero peccato che grandissimi artisti come questi siano per lo più sconosciuti (senza nulla togliere alla divina Callas, ma una voce così dovrebbe avere la medesima popolarità!) e che il numero di visualizzazioni delle perle che ascolterete fra pochissimo sia a dir poco misero confrontato alle visualizzazioni di certe schifezze attuali spacciate per "musica".
Procediamo all'ascolto!
Partiamo dalla sua interpretazione (in lingua tedesca) allucinante di "Una voce poco fa" dal Barbiere di Siviglia di Rossini:

Ascoltiamo ora la sua voce senza confini in "Il Bacio Waltz" di Luigi Arditi:

Non vi basta? Eccola nella versione vocale del noto valzer di Johann Strauss intitolato "Frühlingstimmen":

Sa cantare anche Puccini? Certamente! "O mio babbino caro" dall'opera Gianni Schicchi di seguito:

L'unica voce moderna che mi sento di accostare a questa grande soprano è questa, l'alieno Dimash Kudaibergen! Su quest'ultimo magari dedicherò un post a parte prossimamente.
Alla prossima!

Cantanti leggendarie vs pop stars della musica moderna!

Volevo porgere all'attenzione dei lettori del Tamburo un video che ben illustra il netto calo qualitativo della musica nei tempi recenti (almeno a livello popolare-commerciale).
Lo scopo del video, tratto dal canale youtube "Legendary Vocalists", è mettere ironicamente a confronto alcune cantanti (o come si suol dire oggi, pop stars) moderne, nei momenti migliori, con perfomance "bruttine" (e mi viene un po' da ridere a chiamarle "bruttine") di alcune leggendarie cantanti, che hanno fatto la storia della (vera) musica!
Visionatelo, ascoltate per bene le differenze! :)

P.S: Bisogna pensare che alcune delle cantanti moderne selezionate nel video non rappresentano nemmeno il peggio relativamente al panorama musicale (popolare) odierno!

Alla prossima!

7 in musica!

Oggi il blog Al Tamburo Riparato celebra il suo 7° compleanno!

Siccome ho terminato (per il momento) le mie cartucce sulle variazioni particolari del tema Happy Birthday, questa volta proporrò 7 brani musicali che hanno tutti a che fare col numero 7, al fine di festeggiare l'occasione.
Bando alle ciance!

1) Chopin Valzer Op. 64 N.2, ovvero il Valzer #7 nella classificazione dei valzer del grande compositore polacco, eseguito, in modo sublime, dall'≪aliena≫ Valentina Lisitsa:

2) Seven Nation Army, riarrangiato ed eseguito in chiave jazz dai Postmodern Jukebox ft. Haley Reinhart. Trattasi di un brano del 2003 originariamente del gruppo The White Stripes, diventato noto in Italia anche come tormentone in ambito sportivo, grazie al "po-po-po-po" che cerca di riprodurre il tema principale:

3) Seven Come Eleven, nell'esecuzione (datata 1943) di Red Norvo & Red Norvo Sextet:

4) Seventh Heaven of Love, interpretata (live alla Royal Albert Hall di Londra) dal mitico André Rieu con la sua Johann Strauss Orchestra:

5) Kinderszenen ("Scene Infantili"), Op. 15: No. 7 Träumerei ("Sogno") di Robert Schumann, nella meravigliosa interpretazione pianistica di Radu Lupu:

6) Tchaikovsky - Lo Schiaccianoci, VII. Dance of the Reeds:

7) Piano Sonata N. 7 in B Flat Major Op. 83 mov 3 (Precipitato) di Sergei Prokofiev, eseguita da Lang Lang:

Alla prossima!

Il problema classico della duplicazione del cubo!

Cari lettori del Tamburo, oggi scopriremo un classico problema matematico dell'antichità: la duplicazione del cubo.
Esso costituisce infatti, insieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della quadratura del cerchio, uno dei 3 problemi classici della geometria greca.
Sussiste un'affascinante leggenda legata al nostro problema, leggenda narrata in una lettera di uno pseudo-Eratostene a Tolomeo III, detto anche Tolomeo Evergete I, faraone egizio vissuto attorno al 250 a.C. e noto per un'altra vicenda.
Quando costui partì per la guerra, sua moglie Berenice si tagliò infatti i capelli, come voto per il suo ritorno.
Il suddetto gesto ispirò il nome della costellazione Chioma di Berenice.
Di seguito un paio di immagini che la illustrano:

Ritornando alla lettera, la leggenda in essa narrata coinvolge il noto re Minosse, colui che fece costruire il Labirinto di Cnosso (legato al mito del mostruoso Minotauro).

Egli fece erigere una tomba cubica per suo figlio Glauco, ma non appena vide il lavoro compiuto, gli sembrò troppo piccola.
Ordinò pertanto che se ne raddoppiasse il volume, raddoppiandone il lato. Senza accorgersi, ovviamente, che raddoppiare il lato di un cubo in realtà ne aumenta il volume di 8 volte, non di 2!
Tuttavia, i suoi geometri se ne accorsero e cercarono, invano, di risolvere il dilemma, che divenne famoso appunto come duplicazione del cubo.
Un'altra leggenda, simile e risalente all'incirca al medesimo periodo, venne riportata dal vero Eratostene di Cirene nell'opera intitolata Platonico.
Il problema della duplicazione del cubo è infatti noto pure come "problema di Delos", in riferimento all'isola greca omonima, patria del dio Apollo, in cui si trovava un santuario in suo onore.
Uno degli attributi divini di Apollo era la cura delle malattie, con particolare riferimento alla peste, che di tanto in tanto comportava la decimazione della popolazione greca.
Il mito narrato da Eratostene racconta infatti della spedizione di una delegazione di ateniesi all'oracolo di Apollo, nell'isola di Delos, al fine di trovare una soluzione che mettesse fine una volta per tutte a quella pandemia.
L'oracolo replicò che la peste sarebbe terminata qualora si fosse raddoppiato l'altare cubico del dio Apollo.
Di primo acchito, gli ateniesi provarano a duplicare le dimensioni dell'ara, ma ciò non risolse il problema: l'altare, lontano dal raddoppiarsi, incrementò il proprio volume di 8 volte!
Si decise allora di consultare il sommo Platone, secondo il quale la geometria era una necessità propedeutica per chiunque.
Il filosofo replicò che il dio di quell'oracolo non aveva richiesto un altare doppio per porre termine alla peste di Atene, bensì aveva biasimato i Greci per la loro indifferenza e la loro mancanza di rispetto nei confronti della geometria intesa come scienza dello spirito.
I pitagorici sapevano che il quadrato costruito sulla diagonale di un altro quadrato ha un'area doppia rispetto al primo, ovvero sapevano "duplicare il quadrato" tramite la costruzione della radice quadrata di 2.
Tale problema appare nel dialogo Menone di Platone.
Ergo, sembra naturale che, prendendo come riferimento generale lo spazio, si abbia la duplicazione del cubo mediante la costruzione della radice cubica di 2, il che equivale a risolvere l'equazione




Il problema della duplicazione del cubo è realmente non risolubile se viene richiesto di risolverlo soltanto mediante l'uso della riga e del compasso.
Se si abbandona questo stretto vincolo, il problema è perfettamente risolvibile e in svariati modi.
Il primo a ricondurre il suddetto problema all'inserzione di 2 medie proporzionali fu Ippocrate di Chio (470-410 a.C.).
Dopo di lui, numerosi matematici affrontarono la questione.
Per esempio, Pappo di Alessandria descrisse diverse "soluzioni" nel libro III della Collezione matematica, ed Eutocio di Ascalona fece altrettanto nel suo Commentario a uno dei più importanti trattati di Archimede, ossia Sulla sfera e sul cilindro.
Tra i tentativi di risoluzione del problema va annoverato anche quello di Archita di Taranto (428-347 a.C.).
Costui fu un esimio matematico pitagorico, che si impegnò con successo in politica e ricevette persino l'omaggio di Orazio nelle sue Odi, in cui il poeta romano lo lodò come invincibile militare.
Uno dei discepoli di Archita fu nientemeno che Platone, a cui inculcò una riverenza quasi sacra verso la matematica.
Ad Archita si attribuisce la classificazione dei 4 rami del Quadrivium medievale:

1) l'aritmetica: che studia i numeri a riposo;
2) la geometria: che studia le grandezze a riposo;
3) la musica: che studia i numeri in movimento;
4) l'astronomia: che studia le grandezze in movimento.

Come geometra, Archita fu pioniere nella valutazione dello studio della stereometria, o geometria dello spazio tridimensionale, applicandola in modo superbo e sorprendente proprio alla soluzione del problema di Delos.
Scopriamo tale risoluzione, utilizzando il moderno linguaggio della geometria analitica (introdotta da Cartesio nel 1637, nel saggio intitolato Geometria, incluso nel celebre testo Discorso sul metodo).

Indichiamo con la lettera a il lato del cubo da duplicare e consideriamo un sistema di coordinate cartesiane di origine O.
Sia ora C = (a, 0, 0) il centro di cerchi aventi raggio a e giacenti in piani perpendicolari agli assi del sistema cartesiano.
Attraverso il cerchio di centro C perpendicolare all'asse delle ascisse, si va a costruire un cono circolare retto con vertice nell'origine.
Attraverso poi il cerchio di centro C giacente nel piano degli assi x e y si fa passare un cilindro.
Infine, il cerchio che giace nel piano Oxy viene fatto ruotare intorno all'asse z, in maniera tale da dar vita ad un toro (di tori abbiamo già parlato qui sul Tamburo).
Le equazioni delle 3 superfici descritte sono rispettivamente:







Esse vanno ad intersecarsi in un punto la cui ascissa è ${\displaystyle a{\sqrt[{3}]{2}}}$.
Dunque la lunghezza di questo segmento rappresenta il lato del cubo desiderato.
Se si pensa che Archita pervenne alla medesima conclusione senza l'uso delle coordinate cartesiane, ciò dovrebbe far capire la straordinarietà delle sue ricerche geometriche.
Altri notevoli contributi inerenti al problema della duplicazione del cubo si dovettero a Nicomede (280-210 a.C.), Erone di Alessandria (10-70 d.C.) e, soprattutto, Menecmo (350 a.C. circa), in relazione all'introduzione delle sezioni coniche.

Sezioni coniche: circonferenza (in giallo), ellisse (in rosso), parabola (in blu), iperbole (in verde)

Il problema classico (cioè cercare la risoluzione con solo riga e compasso) continuò a far scervellare i matematici per secoli.
La parola fine al dilemma giunse nel 1837.
Infatti, nel suddetto anno il matematico francese Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848), servendosi dei lavori sulle equazioni algebriche di un altro collega scomparso in età prematura, ovvero il norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), dimostrò quello che si sospettava già e che abbiamo già anticipato: il problema della duplicazione del cubo non poteva essere risolto unicamente con gli strumenti platonici, la riga e il compasso.
Visto che abbiamo tanto parlato di leggende, concludiamo in musica con un bel brano di Ennio Morricone tratto dal film "The legend of 1900", noto in Italia come "La leggenda del pianista sull'oceano"; trattasi di Playing Love nella versione al violoncello di Yo-Yo Ma:

Alla prossima!

Merry Christmas 2017 (with music)!

Tanti auguri di Buon Natale e buone feste a tutti i tamburisti e lettori del Tamburo Riparato!

Di seguito una playlist Spotify fatta da me con tanta musica natalizia interpretata da grandi voci o con arrangiamenti particolari ed interessanti:

La teoria delle stringhe in parole povere!

Non è la prima volta che i lettori del Tamburo sentono parlare di teoria delle stringhe.
Questo post si propone di spiegare, nei limiti del possibile, la suddetta teoria fisica con parole semplici, comprensibili da chiunque.
Per far ciò, dobbiamo ripartire dal concetto di atomo.
Avevamo illustrato l'atomo nel post "L'atomo spiegato a mia nonna!", che consiglio di rileggere per essere preparati al meglio nella lettura di ciò che seguirà.
Ricordiamo brevemente che l'atomo è costituito da un nucleo (formato a sua volta da particelle chiamate protoni e neutroni), intorno al quale girano le particelle di cariche negativa note come elettroni (in realtà la questione delle orbite degli elettroni attorno al nucleo è molto più articolata dell'immaginarli come pianeti che girano attorno al Sole, ma questo non è l'argomento della nostra analisi).

Abbiamo anche visto che protoni e neutroni, se scaviamo più in fondo, sono costituiti da particelle ancora più minuscole dette quark.
Una domanda lecita ora sarebbe: "Se scaviamo ancora più a fondo potremmo trovare qualcosa di nuovo?".
La teoria delle stringhe risponde in maniera affermativa a tale interrogativo.
Per la suddetta teoria ogni particella, in fin dei conti, va considerata come fosse una corda (o stringa) vibrante, il cui modo di vibrare determina le peculiarità della particella in questione.
L'Universo sarebbe dunque il risultato della sinfonia suonata da queste stringhe!
Tutto molto bello, ma ciò che abbiamo affermato è proprio una semplificazione all'osso!
Cerchiamo ora di comprendere un poco meglio cosa stabilisce tale teoria.
Uno dei concetti più sorprendenti che la teoria delle stringhe va ad introdurre è sicuramente quello delle numerose dimensioni spaziali, rispetto alle 3 tradizionali.
Sin dalla culla, il neonato incomincia ad avere un'intuizione delle dimensioni spaziali lunghezza e  larghezza, muovendosi a destra/sinistra e sù/giù al suo interno.
Successivamente, quando diventa abbastanza grande da riuscire a scavalcare il "recinto" della culla, il bambino viene a conoscenza della dimensione spaziale dell'altezza (o profondità).
Crescendo ancora, magari leggendo qualche libro di fisica sulla relatività einsteiniana, magari si renderà conto che le 3 dimensioni spaziali e quella temporale rappresentano un unicum denominato spazio-tempo.
Nessuno però potrebbe affermare, affidandosi solo all'intuito, che ci siano più dimensioni delle 3+1 tradizionali, perchè queste dimensioni extra sarebbero non percepibili.
Un'altra questione spinosa con cui la teoria delle stringhe combatte è l'assoluta incompatibilità tra le 2 maggiori teorie fisiche nate nel XX secolo: la relatività generale e la meccanica quantistica.
La prima (dovuta ad Einstein) spiega benissimo il comportamento fisico delle grandi masse, come le stelle, le galassie, asserendo che la gravità (la forza che meglio comprendiamo intuitivamente) non è altro che il modo in cui si curva lo spazio-tempo in presenza di una certa massa.

Per maggiori dettagli leggete qui.
La meccanica dei quanti è invece il risultato dello studio di numerose menti geniali, cominciando da Max Planck, per passare a Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann e tanti altri.
Essa è la fisica che spiega (in modo probabilistico) la natura del mondo microscopico, quello degli atomi e delle particelle.

Avevamo fornito un'idea dei principi generali della meccanica quantistica qui.
Il problema sorge quando andiamo a considerare un oggetto fisico in cui abbiamo bisogno di applicare entrambe le teorie per studiarlo, parliamo ad esempio di un buco nero.
Un buco nero è letteralmente un corpo di densità infinita (una singolarità gravitazionale se vogliamo essere tecnici), cioè sostanzialmente una massa grandissima concentrata in un volume estremamente piccolo.

Quando andiamo a considerare insieme le equazioni delle relatività generale e della meccanica quantistica sorgono però degli "infiniti", il che rende le 2 teorie apparentemente incompatibili.
La teoria delle stringhe si propone di risolvere la spinosa questione, conciliando appunto la gravità (studiata dalla relatività generale) con le altre 3 forze fondamentali della natura (elettromagnetica, nucleare forte e nucleare debole, spiegate dalla teoria dei quanti): una teoria di gravità quantistica detta in parole povere.

Leggiamo ora un illuminante passo tratto da Il piccolo libro delle stringhe di Steven S. Gubser:

≪Quando si tende per bene [la corda vibrante in un pianoforte] fra 2 piroli e la si suona, la corda vibra a una frequenza definita. La frequenza è il numero di vibrazioni al secondo. Una corda di pianoforte ha pure armonici di vibrazione: tonalità più alte che si mescolano con la sua frequenza fondamentale, sì da produrre il particolare suono che associamo allo strumento...

Possiamo mettere a confronto in maniera diretta una corda di pianoforte con le stringhe della teoria attinente. Per distinguere fra tipi differenti di stringhe chiamerò quelle di cui ci parla la teoria fisica stringhe relativistiche...Si conviene che le stringhe relativistiche terminino su oggetti chiamati D-brane. Se sopprimiamo gli effetti delle interazioni fra stringhe, le D-brane sono infinitamente "pesanti"...La più semplice delle D-brane è chiamata D0-brana: è una particella puntiforme...Tendiamo una stringa relativistica fra 2 piroli. Le D0-brane non sono attaccate a nulla, ma non si muovono perché sono infinitamente pesanti....Il livello di energia più basso della stringa tesa non ha vibrazioni - bé, non ne ha quasi. C'è sempre una debole vibrazione quantomeccanica. Il modo corretto per comprendere lo stato fondamentale della stringa è pensare che essa possieda tanta poca energia vibrazionale quanta ne ammette la meccanica quantistica. La stringa relativistica ha stati eccitati in cui vibra - alla sua frequenza fondamentale oppure su uno dei suoi armonici. Proprio come la corda di un pianoforte, può vibrare simultaneamente su moltissime frequenze differenti. Tuttavia, così come in un atomo d'idrogeno l'elettrone non può muoversi in maniera arbitraria, anche una stringa relativistica non può vibrare a suo piacimento...La stringa deve "scegliere" entro una sequenza di stati vibrazionali. Questi possiedono energie differenti, ma siccome energia e massa sono legate dall'equazione E = mc², i differenti stati vibrazionali di una stringa hanno masse diverse...
La massa totale di una stringa è frutto di molteplici contributi. Anzitutto, c'è la sua massa a riposo: la massa che essa possiede per il fatto di essere tesa da una D0-brana all'altra. Inoltre, c'è l'energia vibrazionale in ciascun armonico: questa contribuisce alla massa, giacché, stando all'equazione E = mc², l'energia è massa! Infine, c'è un contributo che viene dalla quantità minima di vibrazione consentita dalla meccanica quantistica. Tale contributo causato dalle fluttuazioni quantistiche è chiamato energia di punto zero. Siffatta espressione dovrebbe ricordarci che questo contributo quantistico è ineludibile. Il contributo dell'energia di punto zero alla massa è negativo. Il che è strano, molto strano! Se ci limitiamo a considerare un unico modo vibrazionale della stringa, l'energia di punto zero è negativa. Armonici più alti accrescono i contributi positivi all'energia di punto zero. Ma quando li si somma tutti quanti in maniera opportuna, si ottiene un numero negativo. Se ciò non bastasse, c'è di peggio: tutti questi effetti - massa a riposo, energie vibrazionali ed energia di punto zero - si sommano al quadrato della massa totale. Quindi se l'energia di punto zero è dominante, il quadrato della massa è negativo. Ciò significa che la massa è immaginaria, come √-1...Per riassumere la cosa in poche parole, una stringa relativistica nel suo stato energetico quantico più basso ha massa negativa al quadrato. Una stringa in tale stato è detta tachione...Nello scenario che ho descritto, ove una stringa è tesa fra 2 D0-brane, possiamo liberarci [dei tachioni] soltanto separando le D0-brane in misura sufficiente affinché il contributo della massa ottenuto dalla tensione della stringa sia maggiore delle fluttuazioni quantistiche. Ma anche in assenza di D0-brane, ci sono comunque stringhe. Anziché finire su qualcosa, esse si richiudono su se stesse. Non sono affatto tese. Possono ancora vibrare, ma non devono farlo obbligatoriamente. L'unica cosa di cui non possono fare a meno è fluttuare secondo quanto previsto dalla meccanica quantistica. E come prima, tali fluttuazioni quantistiche di punto zero tendono a renderle tachioniche...

I tachioni sono sintomo d'instabilità - un'instabilità simile a quella di una matita in equilibrio sulla punta. Se qualcuno è particolarmente insistente e abile, magari riesce davvero a far sì che la matita si regga in quel modo. Ma il minimo soffio di vento la farà cadere. La teoria delle stringhe con i tachioni è quasi come una teoria del moto di un milione di matite distribuite su tutto lo spazio e tutte quante in equilibrio sulla punta...[Ma] c'è qualcosa di buono nei tachioni. Accettiamo che lo stato fondamentale di una stringa è un tachione, con massa negativa al quadrato: m² < 0. L'energia vibrazionale rende m² "meno" negativa. Di fatto, se giochiamo bene le nostre carte, il più piccolo incremento di energia vibrazionale consentito dalla meccanica quantistica rende m esattamente pari a 0. Ottima cosa, dato che sappiamo che esistono in natura particelle senza massa: fotoni e gravitoni. Così, se le stringhe devono descrivere il mondo, bisogna che ci siano stringhe prive di massa - più precisamente, esisteranno stati quantici vibrazionali delle stringhe privi di massa. "Giocare bene le nostre carte" significa che abbiamo bisogno di 26 dimensioni dello spazio-tempo...Quando qualcosa vibra - poniamo, la corda di un pianoforte-, vibra in una direzione definita. La corda di un piano vibra nella direzione in cui è stata percossa. In un pianoforte orizzontale ciò significa che la corda vibra "su e giù" anziché da una parte all'altra. Le vibrazioni prendono una direzione, e ignorano tutte le altre. Per contrasto, le fluttuazioni quantistiche di punto zero vanno in ogni direzione possibile. Ogni nuova dimensione che viene introdotta dà alle fluttuazioni quantistiche un'ulteriore direzione da esplorare. Più direzioni significano più fluttuazioni di punto zero, cioè un maggiore contributo negativo a m². Non resta che chiedersi come si mantenga l'equilibrio fra le vibrazioni e le irriducibili fluttuazioni quantistiche di punto zero. A quanto risulta, la quantità minima di vibrazione si neutralizza a vicenda con il valore delle 26 dimensioni della fluttuazione quantistica, portando - come si voleva - a stati di stringa privi di massa.≫

Una piccola nota: i fotoni solo le particelle che mediano l'interazione elettromagnetica (in parole povere, sono i quanti di luce), mentre i gravitoni (questi ultimi ancora ipotetici) designano il corrispettivo per la gravità!
Gubser riassume quanto illustrato in questo modo:

≪Abbiamo buone notizie, cattive notizie e pessime notizie. Le stringhe hanno modi vibrazionali e possono comportarsi come fotoni o come gravitoni - e questa è la buona notizia. Possono farlo soltanto in 26 dimensioni: ecco la cattiva notizia. C'è pure un modo vibrazionale di una stringa che ha massa immaginaria, il tachione. Ciò indica un'instabilità nell'intera teoria. Non può esserci nulla di peggio che questo.≫

La teoria delle stringhe splendidamente raccontata da Gubser nell'estratto riportato viene chiamata teoria di stringa bosonica, che è proprio la versione originale della teoria delle stringhe sviluppata alla fine degli anni '60 del XX secolo.
Negli anni '70, tuttavia, c'è l'avvento della nozione di supersimmetria e la nascita della cosiddetta teoria delle superstringhe!
Per cercare di comprendere almeno l'essenza del concetto di supersimmetria, dobbiamo un attimo ritornare sulle particelle che costituiscono la materia.
La meccanica quantistica ci permette di classificare le particelle in 2 categorie fondamentali: bosoni e fermioni.
La differenza sostanziale sta nel fatto che i bosoni non sono soggetti al principio di esclusione di Pauli, mentre i fermioni lo sono!
Il principio afferma infatti che 2 fermioni identici (come ad esempio gli elettroni) non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quantico (in parole povere, la rappresentazione matematica di un sistema fisico).

Un'ulteriore differenza tra bosoni e fermioni è data dal tipo di momento angolare di spin che essi possiedono.
Lo spin è una particolare grandezza (o se vogliamo essere precisi, un numero quantico) che va appunto (assieme ad altre grandezze) a definire uno stato quantico.
Ed è in particolare una forma di momento angolare, grandezza fisica che i lettori del Tamburo hanno già incontrato in passato (qui).
Sussiste il cosiddetto teorema spin-statistica, il quale afferma che i bosoni presentano spin intero, mentre i fermioni hanno spin semintero.
Per esempio i fotoni (che sono bosoni di gauge) presentano spin pari a 1, mentre gli elettroni (che sono fermioni) hanno spin uguale ad 1/2.
Detto ciò, la supersimmetria (abbreviata SUSY) è quella teoria che individua una certa simmetria per cui ad ogni fermione e ad ogni bosone vanno a corrispondere rispettivamente un bosone e un fermione di egual massa!

 Ciò si traduce nel fatto che all'elettrone (fermione di spin 1/2), corrisponde il selettrone (bosone di spin 0), al quark (fermione di spin 1/2) corrisponde lo squark (bosone di spin 0) e così via.
La seguente tabella illustra le coppie particella/partner supersimmetrico fondamentali, già viste nell'immagine precedente:

La supersimmetria e la relativa teoria delle superstringhe portarono a una sostanziale evoluzione della teoria delle stringhe originaria.
Infatti, citando sempre Gubser:

≪La teoria delle superstringhe rappresenta una cura per il problema dei tachioni e abbassa il numero delle dimensioni da 26 a 10. Produce anche nuovi modi vibrazionali che fanno sì che le stringhe si comportino come elettroni...La superstringa fluttua non solo nello spazio e nel tempo ma anche in altre modalità più astratte. Questi nuovi tipi di fluttuazioni sono in parte - ma non del tutto - diretti alla soluzione della questione dei tachioni. Rimane ancora un modo vibrazionale con massa negativa quadrata. La chiave di tutto è che se si comincia con modi vibrazionali che rappresentano fotoni, elettroni o altre particelle a nostra scelta, a prescindere da quali collisioni si provochino fra loro, non si potrà mai ottenere un tachione. È un po' come se l'intera teoria fosse in equilibrio sulla lama di un coltello. C'è, però, una particolare simmetria che aiuta a mantenere l'equilibrio: la cosiddetta supersimmetria.≫

Verso la fine degli anni '80 ai fisici divenne chiaro che la teoria delle stringhe, per quanto arrivi molto vicino a una descrizione unificante dell'Universo, non riesce però a raggiungere tale obiettivo in pieno.
Tra l'altro, si era scoperto che esistevano ben 5 tipologie differenti di teoria delle superstringhe:

1) tipo I;
2) tipo IIA;
3) tipo IIB;
4) eterotica-O;
5) eterotica-E.

Tutte hanno in comune numerose caratteristiche fondamentali, ad esempio:

- necessitano di 10 dimensioni spaziali, di cui 6 compattificate in uno spazio di Calabi-Yau (spazio a 6 dimensioni che prende la denominazione dai matematici Eugenio Calabi e Shing-Tung Yau)

- i modi di vibrazione determinano le masse e le "cariche di gauge".

Ma le differenze tra le suddette teorie esistono e crearono un certo imbarazzo negli studiosi di teoria delle stringhe.
D'altronde un conto è avere un'unica teoria che potrebbe spiegare il meccanismo dell'intero Universo, un altro è averne 5 diverse, un eccesso che finisce per indebolirle tutte quante!
Più recentemente si arrivò a una svolta, come ci illustra Brian Greene nel celebre saggio L'universo elegante:

≪Al congresso del 1995, Witten argomentò che, partendo con una stringa di tipo IIA e aumentando la sua costante di accoppiamento da un valore molto minore di 1 fino a un valore molto maggiore di 1, la fisica che è ancora possibile analizzare ha un'approssimazione a basse energie che è la supergravità in 11 dimensioni. Quando Witten annunciò questa scoperta, i presenti restarono stupefatti. Si trattava di uno sviluppo per quasi tutti completamente inaspettato.≫

Sostanzialmente Edward Witten riuscì a riunire le 5 teorie di superstringa differenti in un'unica teoria madre, chiamata M-teoria, la quale invece di supporre l'esistenza di 10 dimensioni, ne prevede ben 11!
Qual è il significato della M?
Witten non specificò inizialmente cosa intendesse con quella lettera, lasciando il lettore libero di immaginare che si riferisse a "magia", "mistero", oppure (teoria) "madre" o ancora "matrice".
Recentemente ha chiarito che la M sta per "membrana".
Abbiamo osservato di cosa si occupa la teoria delle stringhe e abbiamo cercato di comprendere le peculiarità essenziali, senza entrare nei complessi meandri tecnici.
Siamo arrivati a scoprire che per cercare di descrivere le leggi dell'Universo nella sua interezza, ossia dalla più piccola particella sino alle colossali masse dei corpi celesti (quello che poi fu il sogno ultimo di Einstein prima di morire), si potrebbe aver bisogno di riferirci a ben 11 dimensioni nella teoria delle stringhe unificata, la M-teoria.
Va però sottolineato che, allo stato attuale, la teoria delle stringhe (e analogamente la più generale M-teoria) è niente più che una mera (anche se sembra matematicamente corretta e molto affascinante) ipotesi teorica.
La scienza si fonda chiaramente sulla teoria, ma se non c'è un riscontro sperimentale convalidato, una teoria non può essere assunta come descrizione esatta delle leggi dell'Universo.
Dunque, finché non si avranno conferme sperimentali, la teoria delle superstringhe continuerà ad avere i suoi sostenitori e i suoi oppositori, come è giusto che sia.
D'altronde anche la relatività generale einsteiniana, sino alle conferme sperimentali dell'astronomo britannico Arthur Eddington durante l'eclissi di Sole del 29 maggio 1919, restava una mera ipotesi teorica.
Come ben evidenzia però Ian Stewart in Numeri incredibili:

≪Anche se si finisse con lo scoprire che la teoria delle stringhe non corrisponde al reale funzionamento dell'universo, essa ha dato un grande contributo alla matematica (purtroppo un contributo eccessivamente tecnico per poterne discutere qui). Così i matematici continuano a studiarla, e ritengono che ciò sia di valore in sé, anche se i fisici dovessero decidere che non si applica al mondo reale.≫
 
Sul Tamburo è stato più volte segnalato un bel libro, L'universo senza stringhe, che esprime le ragioni di un fisico teorico, Lee Smolin, a sfavore della teoria delle stringhe.

Oltre a questo, segnalo per ulteriori approfondimenti il già citato Il piccolo libro delle stringhe di Steven S. Gubser, il classico L'universo elegante di Brian Greene e poi il recente Numeri, teoremi e Minotauri di Roger Penrose, dal quale traiamo un interessante passo atto a concludere il nostro post:

≪Quant'è alla moda la teoria delle stringhe? Possiamo farci un'idea della sua popolarità come approccio alla gravità quantistica (perlomeno attorno al 1997) grazie a una piccola indagine presentata durante una conferenza di Carlo Rovelli al Congresso internazionale sulla relatività generale e la gravitazione che si tenne a Pune, in India, nel dicembre del 1997. La conferenza di Rovelli aveva come tema i vari approcci alla gravità quantistica prevalenti in quel periodo. Va sottolineato che Rovelli è uno degli artefici di un approccio alla gravità quantistica che si contrappone alla teoria delle stringhe: la teoria delle variabili a loop...Quello che Rovelli fece fu di esaminare gli archivi di Los Angeles e scoprire quanti articoli scientifici erano stati pubblicati sui diversi approcci alla gravità quantistica nel corso dell'anno precedente. I risultati della sua indagine furono i seguenti:

Teoria delle stringhe: 69
Gravità quantistica a loop: 25
QFT in spazi curvi: 8
Approcci basati su reticolo: 7
Gravità quantistica euclidea: 3
Geometria non commutativa: 3
Cosmologia quantistica: 1
Twistors: 1
Altri: 6

Notiamo che non solo la teoria delle stringhe sembrava di gran lunga l'approccio più popolare alla gravità quantistica, ma che la sua popolarità superava tranquillamente quella di tutti gli altri approcci messi insieme.
In anni successivi Rovelli condusse un'indagine analoga prendendo in considerazione un numero leggermente più limitato di argomenti, ma seguendo l'andamento delle pubblicazioni scientifiche nell'intero periodo compreso tra il 2000 e il 2012, e ne trasse un grafico della popolarità relativa di 3 diversi approcci alla gravità quantistica: la teoria delle stringhe, la gravità quantistica a loop e la teoria dei twistor. Stando a questo grafico, la teoria delle stringhe sembra resistere nella sua veste di teoria popolare, con un probabile picco attorno al 2007 ma nessuna caduta considerevole dopo quell'anno.≫

La conclusione vera e propria giunge tuttavia, visto che abbiamo parlato di sinfonia dell'Universo, con il bellissimo Allegretto, 2° movimento della Sinfonia n.7 di Beethoven, diretto da Herbert von Karajan:

Alla prossima!