Il problema classico della duplicazione del cubo!

Cari lettori del Tamburo, oggi scopriremo un classico problema matematico dell'antichità: la duplicazione del cubo.
Esso costituisce infatti, insieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della quadratura del cerchio, uno dei 3 problemi classici della geometria greca.
Sussiste un'affascinante leggenda legata al nostro problema, leggenda narrata in una lettera di uno pseudo-Eratostene a Tolomeo III, detto anche Tolomeo Evergete I, faraone egizio vissuto attorno al 250 a.C. e noto per un'altra vicenda.
Quando costui partì per la guerra, sua moglie Berenice si tagliò infatti i capelli, come voto per il suo ritorno.
Il suddetto gesto ispirò il nome della costellazione Chioma di Berenice.
Di seguito un paio di immagini che la illustrano:

Ritornando alla lettera, la leggenda in essa narrata coinvolge il noto re Minosse, colui che fece costruire il Labirinto di Cnosso (legato al mito del mostruoso Minotauro).

Egli fece erigere una tomba cubica per suo figlio Glauco, ma non appena vide il lavoro compiuto, gli sembrò troppo piccola.
Ordinò pertanto che se ne raddoppiasse il volume, raddoppiandone il lato. Senza accorgersi, ovviamente, che raddoppiare il lato di un cubo in realtà ne aumenta il volume di 8 volte, non di 2!
Tuttavia, i suoi geometri se ne accorsero e cercarono, invano, di risolvere il dilemma, che divenne famoso appunto come duplicazione del cubo.
Un'altra leggenda, simile e risalente all'incirca al medesimo periodo, venne riportata dal vero Eratostene di Cirene nell'opera intitolata Platonico.
Il problema della duplicazione del cubo è infatti noto pure come "problema di Delos", in riferimento all'isola greca omonima, patria del dio Apollo, in cui si trovava un santuario in suo onore.
Uno degli attributi divini di Apollo era la cura delle malattie, con particolare riferimento alla peste, che di tanto in tanto comportava la decimazione della popolazione greca.
Il mito narrato da Eratostene racconta infatti della spedizione di una delegazione di ateniesi all'oracolo di Apollo, nell'isola di Delos, al fine di trovare una soluzione che mettesse fine una volta per tutte a quella pandemia.
L'oracolo replicò che la peste sarebbe terminata qualora si fosse raddoppiato l'altare cubico del dio Apollo.
Di primo acchito, gli ateniesi provarano a duplicare le dimensioni dell'ara, ma ciò non risolse il problema: l'altare, lontano dal raddoppiarsi, incrementò il proprio volume di 8 volte!
Si decise allora di consultare il sommo Platone, secondo il quale la geometria era una necessità propedeutica per chiunque.
Il filosofo replicò che il dio di quell'oracolo non aveva richiesto un altare doppio per porre termine alla peste di Atene, bensì aveva biasimato i Greci per la loro indifferenza e la loro mancanza di rispetto nei confronti della geometria intesa come scienza dello spirito.
I pitagorici sapevano che il quadrato costruito sulla diagonale di un altro quadrato ha un'area doppia rispetto al primo, ovvero sapevano "duplicare il quadrato" tramite la costruzione della radice quadrata di 2.
Tale problema appare nel dialogo Menone di Platone.
Ergo, sembra naturale che, prendendo come riferimento generale lo spazio, si abbia la duplicazione del cubo mediante la costruzione della radice cubica di 2, il che equivale a risolvere l'equazione




Il problema della duplicazione del cubo è realmente non risolubile se viene richiesto di risolverlo soltanto mediante l'uso della riga e del compasso.
Se si abbandona questo stretto vincolo, il problema è perfettamente risolvibile e in svariati modi.
Il primo a ricondurre il suddetto problema all'inserzione di 2 medie proporzionali fu Ippocrate di Chio (470-410 a.C.).
Dopo di lui, numerosi matematici affrontarono la questione.
Per esempio, Pappo di Alessandria descrisse diverse "soluzioni" nel libro III della Collezione matematica, ed Eutocio di Ascalona fece altrettanto nel suo Commentario a uno dei più importanti trattati di Archimede, ossia Sulla sfera e sul cilindro.
Tra i tentativi di risoluzione del problema va annoverato anche quello di Archita di Taranto (428-347 a.C.).
Costui fu un esimio matematico pitagorico, che si impegnò con successo in politica e ricevette persino l'omaggio di Orazio nelle sue Odi, in cui il poeta romano lo lodò come invincibile militare.
Uno dei discepoli di Archita fu nientemeno che Platone, a cui inculcò una riverenza quasi sacra verso la matematica.
Ad Archita si attribuisce la classificazione dei 4 rami del Quadrivium medievale:

1) l'aritmetica: che studia i numeri a riposo;
2) la geometria: che studia le grandezze a riposo;
3) la musica: che studia i numeri in movimento;
4) l'astronomia: che studia le grandezze in movimento.

Come geometra, Archita fu pioniere nella valutazione dello studio della stereometria, o geometria dello spazio tridimensionale, applicandola in modo superbo e sorprendente proprio alla soluzione del problema di Delos.
Scopriamo tale risoluzione, utilizzando il moderno linguaggio della geometria analitica (introdotta da Cartesio nel 1637, nel saggio intitolato Geometria, incluso nel celebre testo Discorso sul metodo).

Indichiamo con la lettera a il lato del cubo da duplicare e consideriamo un sistema di coordinate cartesiane di origine O.
Sia ora C = (a, 0, 0) il centro di cerchi aventi raggio a e giacenti in piani perpendicolari agli assi del sistema cartesiano.
Attraverso il cerchio di centro C perpendicolare all'asse delle ascisse, si va a costruire un cono circolare retto con vertice nell'origine.
Attraverso poi il cerchio di centro C giacente nel piano degli assi x e y si fa passare un cilindro.
Infine, il cerchio che giace nel piano Oxy viene fatto ruotare intorno all'asse z, in maniera tale da dar vita ad un toro (di tori abbiamo già parlato qui sul Tamburo).
Le equazioni delle 3 superfici descritte sono rispettivamente:







Esse vanno ad intersecarsi in un punto la cui ascissa è ${\displaystyle a{\sqrt[{3}]{2}}}$.
Dunque la lunghezza di questo segmento rappresenta il lato del cubo desiderato.
Se si pensa che Archita pervenne alla medesima conclusione senza l'uso delle coordinate cartesiane, ciò dovrebbe far capire la straordinarietà delle sue ricerche geometriche.
Altri notevoli contributi inerenti al problema della duplicazione del cubo si dovettero a Nicomede (280-210 a.C.), Erone di Alessandria (10-70 d.C.) e, soprattutto, Menecmo (350 a.C. circa), in relazione all'introduzione delle sezioni coniche.

Sezioni coniche: circonferenza (in giallo), ellisse (in rosso), parabola (in blu), iperbole (in verde)

Il problema classico (cioè cercare la risoluzione con solo riga e compasso) continuò a far scervellare i matematici per secoli.
La parola fine al dilemma giunse nel 1837.
Infatti, nel suddetto anno il matematico francese Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848), servendosi dei lavori sulle equazioni algebriche di un altro collega scomparso in età prematura, ovvero il norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), dimostrò quello che si sospettava già e che abbiamo già anticipato: il problema della duplicazione del cubo non poteva essere risolto unicamente con gli strumenti platonici, la riga e il compasso.
Visto che abbiamo tanto parlato di leggende, concludiamo in musica con un bel brano di Ennio Morricone tratto dal film "The legend of 1900", noto in Italia come "La leggenda del pianista sull'oceano"; trattasi di Playing Love nella versione al violoncello di Yo-Yo Ma:

Alla prossima!