La spirale di Archimede

Dato che il Tamburo sembra essere tornato in attività (evviva!), mi sembra giusto farlo partecipare dopo tanto tempo ad un Carnevale della Matematica.
Sul mio blog principale in questi ultimi mesi sto approfondendo il tema delle curve e degli integrali curvilinei (gli interessati possono cliccare qui e qui per i primissimi post sul tema).
Il Tamburo però mi sembra il posto giusto per parlare di un semplice esempio di curva: la spirale di Archimede.
Qualcuno potrebbe pensare che sia un po' scontato discutere di una spirale e di uno dei matematici più famosi di sempre, ovvero Archimede di Siracusa.

Tuttavia questa curva geometrica ha una storia molto singolare che vorrei raccontarvi.
Nel 1906 uno studioso danese, J. L. Heiberg, trovò a Costantinopoli una vecchia pergamena contenente una raccolta di preghiere del XIII secolo.
Adesso starete forse pensando che sono impazzito: cosa diavolo c'entra tutto ciò con la matematica?
Abbiate per favore un attimo di pazienza!
Allora questa pergamena era composta da 185 fogli e l'aspetto interessante sta nel fatto che quelle preghiere rappresentavano solamente ciò che si vedeva chiaramente sulla superficie della suddetta pergamena.
Infatti, tutti questi fogli originariamente contenevano altri scritti che erano stati cancellati, attraverso l'uso della pietra pomice, un po' come si fa oggi con la matita, che consente di scrivere un testo e cancellarlo per dar spazio ad un nuovo testo.
La cancellazione di quegli scritti assai antichi non era tuttavia totale e ciò permise ad Heiberg, con paziente cura e attraverso rigorosi metodi fotografici, di ricostruire i testi originali presenti sulla pergamena, tra cui numerosi trattati di Archimede.
Vi era contenuto anche il trattato denominato "Sulle spirali", in cui veniva studiata in modo approfondito la spirale che prenderà appunto il nome di "spirale di Archimede".
Ammiriamola in tutta la sua magnifica eleganza:

Senza entrare nei dettagli troppo tecnici, diciamo che questa curva nel piano presenta un'equazione parametrica del tipo




dove a è un numero reale positivo, mentre t rappresenta il cosiddetto parametro della curva.
C'è da notare che così come l'elica in 3D presenta un passo, cioè la minima distanza tra 2 punti dell'elica che giacciono sulla stessa verticale, lo stesso concetto è presente per la spirale archimedea.
In particolare il passo della spirale ha un valore ben definito che è 2πa.
Un'altra cosa interessante è il fatto che Archimede abbia introdotto la spirale al fine di risolvere il problema di rettificazione della circonferenza.
Che significa rettificazione?
Trattasi semplicemente del problema di determinare, con il solo aiuto di riga e compasso, un segmento che presenti una lunghezza uguale a quella di una circonferenza di un dato raggio.
Le spirali di Archimede vantano poi un sacco di applicazioni pratiche.
Per esempio vengono utilizzate nei sistemi di proiezione DLP (acronimo per Digital Light Processing) per minimizzare il cosiddetto "effetto arcobaleno", che è la percezione di flash rossi, verdi e blu che si manifesta specialmente quando l'immagine proiettata presenta aree in forte contrasto tra loro (per esempio colori chiari e scuri) oppure la percezione di oggetti luminosi (bianchi) in moto su uno sfondo nero.
Di seguito un video che mostra come questo effetto si manifesta per esempio in una scena di un film.

Si utilizza proprio la spirale archimedea per far in modo che i vari colori sembrino proiettati simultaneamente, quando in realtà essi compiono un ciclo estremamente rapido.

Ruota cromatica

 

 

Addirittura a questa straordinaria curva geometrica ci si riferisce pure in microbiologia del cibo al fine di quantificare la concentrazione batterica attraverso un piatto a spirale.

Insomma uno dei tanti contributi del celebre matematico siracusano continua a mostrare la sua importanza non solo in ambito strettamente matematico, ma pure in contesti davvero assai particolari.
Un'ennesima dimostrazione del fatto che la matematica stia veramente dappertutto.
Alla prossima!
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n. 139 ospitato su MaddMaths!