Il biliardo platonico

Ci può essere qualche relazione tra la matematica e il gioco del biliardo?
Sicuramente, tuttavia in questo post andremo ad osservare non la matematica del biliardo classico, ma un problema matematico che ha come protagonista il biliardo: il problema del biliardo platonico.
Immaginate infatti una palla da biliardo che rimbalza all'interno di un cubo, supponendo naturalmente nulla l'influenza di forze fisiche quali attrito e gravità.
Il problema, formulato per la prima volta dallo scrittore e matematico inglese Lewis Caroll (sì quello di Alice nel Paese delle Meraviglie), consiste nel riuscire a determinare un percorso tale che la palla ritorni al punto di partenza dopo aver colpito una sola volta ogni parete.
Ci volle circa un secolo affinché qualcuno ne trovasse una soluzione.
Infatti, nel 1958, il matematico polacco Hugo Steinhaus propose una soluzione, la quale andava a dimostrare che i suddetti percorsi esistono nel caso del cubo.
Successivamente, nel 1962, John Conway (sì lo stesso del Gioco della vita di cui abbiamo parlato un po' di tempo fa) e Roger Hayward furono in grado di determinare traiettorie simili all'interno di un tetraedro regolare.
Ciascun tratto del percorso fra le pareti ha la stessa lunghezza per il cubo e per il tetraedro.
In teoria, la palla rimbalzerebbe in eterno all'interno del solido!
Nessuno era però riuscito a fornire una prova rigorosa del fatto che tali percorsi potessero esistere anche per altri solidi platonici.
Ricordiamo che mentre i poligoni regolari sono infiniti, giacché possono avere un qualsivoglia numero n di lati uguali (e tutti gli angoli fra loro congruenti), i poliedri (cioè i solidi) regolari dello spazio sono solamente 5 e vengono detti "platonici" in quanto furono studiati dal sommo filosofo nel Timeo.

Ogni poliedro regolare ammette sia la sfera inscritta (tangente alle facce del poliedro), sia quella circoscritta (passante per tutti i suoi vertici), e tali 2 sfere hanno lo stesso centro, chiamato "centro" del poliedro regolare.
Una peculiarità interessante dei poliedri platonici è che a ciascuno di essi si può far corrispondere un secondo ad esso "duale", con le facce tangenti alla sfera circoscritta al primo poliedro, nei suoi vertici.
Detto in parole povere, il poliedro duale di un certo poliedro P è un altro poliedro Q che si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di P.
Chiaramente il duale di Q sarà nuovamente P.

Il tetraedro ricopre un ruolo particolare in questo frangente, poiché esso risulta "autoduale", ovvero il duale di un tetraedro è un altro tetraedro, come mostrato nella seguente immagine:

Ritornando, a seguito di questo breve excursus, al nostro problema del biliardo platonico, diciamo che nel 1997 il matematico statunitense Matthew Hudelson scoprì percorsi interessanti di una palla da biliardo che rimbalza dentro i restanti poliedri regolari (ottaedro, dodecaedro e icosaedro).
I percorsi analizzati grazie ad ausilio informatico da Hudelson toccano ciascuna faccia interna e, alla fine, riportano la palla al punto di partenza, con la medesima direzione del suo moto iniziale.
Per cercare di far luce nel miglior modo possibile sul problema relativo a tali forme, Hudelson ha creato un programma il quale ha generato più di 100.000 traiettorie iniziali casuali, per poi analizzare quelle che colpiscono tutte e 12 le facce nel dodecaedro e tutte e 20 le facce nell'icosaedro.
Chiudiamo con un video in cui il noto astronomo Carl Sagan spiega i solidi platonici nel programma di divulgazione scientifica "Cosmos":

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.101, che si terrà sulle Notiziole di .mau.