Rivoltare una sfera

La sfera, come sappiamo, era considerata dagli antichi la forma ideale, quella che caratterizzava i mondi al di là della Terra.
Oggi parleremo, in parole povere, di un problema di natura topologica riguardante la sfera: l'eversione della sfera.
Innanzitutto diciamo che la topologia (dal greco tópos, ossia "luogo", e lógos, cioè "studio") è un'importantissima branca della matematica che si occupa, non a caso, delle proprietà delle forme e figure che non si modificano se viene effettuata una deformazione senza "strappi" o "sovrapposizioni".
I topologi hanno sempre sostenuto che, in linea teorica, risultava possibile invertire una sfera (o se vogliamo, "rivoltarla"), tuttavia non sapevano come riuscire nell'impresa.

Quando la computer grafica divenne disponibile ai ricercatori, l'esperto di grafica nonché matematico Nelson Max creò un'animazione che finalmente illustrava la trasformazione della sfera.
Il video di Max, datato 1977 e intitolato Turning a Sphere Inside Out (potete visionarlo qui sotto), era basato sul lavoro inerente all'inversione di una sfera che il topologo francese non vedente Bernard Morin aveva compiuto nel 1967.

L'animazione è focalizzata sul modo in cui tale inversione possa essere effettuata, facendo passare la superficie attraverso se stessa, senza generare alcun buco o piega.
Nonostante il problema fosse stato risolto visivamente appunto da Max, la risoluzione teorica, risalente al 1958, si deve al matematico statunitense Stephen Smale.
Smale nacque nel 1930 a Flint nel Michigan.
La sua famiglia viveva in una piccola fattoria fuori città e il piccolo frequentò la scuola locale, dove un solo insegnante seguiva ben 8 classi diverse in una singola stanza!
Suo padre era un marxista dichiarato, una posizione per nulla facile quando il senatore Joseph McCarthy diede vita a quel periodo storico che sarebbe stato indelebilmente associato al suo nome (maccartismo).
In tal periodo il giovane Smale si interessava, in maniera dilettantistica, più di chimica ed astronomia che di politica.
Il suo rendimento scolastico era a dir poco eccellente: all'esame statale, che tutti erano obbligati a sostenere dopo 8 anni di studio, egli ottenne il massimo punteggio tra migliaia di studenti.
Sebbene ci fossero tali premesse, il suo insegnante mostrava scetticità riguardo alle possibilità del ragazzo di frequentare il college.
Smale fece tuttavia domanda, poi accettata, all'Università del Michigan.
Facendo tesoro di una piccola eredità del nonno e di una borsa di studio quadriennale, costui poté dedicarsi, ancor più che agli studi, all'attivismo politico.
Smale si iscrisse al partito comunista, festò contro il coinvolgimento americano nella guerra di Corea, visitò i paesi dell'Est, si recò perfino al festival della gioventù comunista a Berlino.
Chiaramente tutto questo fervore politico lo portava a trascurare gli studi, a cui dedicava solo quel minimo di tempo necessario al fine di non farsi espellere.
Queste sue numerose attività extra-curricolari lo condussero, durante l'ultimo anno, addirittura alla libertà vigilata.
Da questo momento incominciò a prendere più seriamente il suo impegno al college.
Sino ad allora il suo principale argomento di studio era la fisica, ma ben presto passò alla matematica, che a parer suo riteneva molto più semplice.
Nel 1952 conseguì la laurea di primo livello e si iscrisse per ottenere la specializzazione.
L'iscrizione venne sì accettata, però sorsero presto problemi derivanti dalla sua attività politica.
Alla fine fu richiamato dal preside del Dipartimento di Matematica e ammonito che sarebbe stato espulso se i suoi voti non fossero migliorati.
Ergo, Smale si trovava di fronte a una scelta tra l'università e il partito comunista; scelse saggiamente la prima, dedicandosi seriamente allo studio della matematica.
L'anno dopo conseguì la laurea di secondo livello all'Università del Michigan e, nel 1957, il dottorato.
La sua reputazione era stata ormai compromessa, infatti, quando cercò il suo primo lavoro, il direttore del dipartimento scrisse una poco sincera lettera di raccomandazione ove evidenziava che era stato uno studente "poco brillante e poco partecipe".
Ma ciò non bloccò Smale. A dispetto del suo dubbioso professore, costui lavorò all'Università di Chicago, all'Institut for Advanced Study di Princeton, al Collège de France di Parigi, alla Columbia University per essere infine assunto all'Università della California a Berkeley nel 1964, nella quale rimase per i successivi trent'anni.
Oltre al suo lavoro di ricerca e insegnamento, Smale a Berkeley fu il supervisore di oltre 40 dottorandi.
Egli ricevette il massimo riconoscimento per un matematico, la Medaglia Fields, nel 1966.
Ritornando al problema della sfera, quando si parla di eversione della sfera, non è un processo semplice come rivoltare un pallone da spiaggia sgonfiato tirandolo tramite l'apertura della valvola, per poi gonfiarlo nuovamente.
In topologia ci si riferisce a una sfera senza alcuna apertura.
Come detto, Smale dimostrò che era possibile rivoltare una sfera senza praticare buchi, tagli o sgualciture, tuttavia il suo metodo era così complesso che nessuno (almeno fino al video di Max) riusciva a visualizzarlo.
Alla fine degli anni '90 i matematici fecero un importante passo avanti, scoprendo un percorso geometricamente ottimale, ossia in grado di minimizzare l'energia necessaria durante la trasformazione necessaria per contorcere la sfera.
La suddetta inversione ottimale della sfera, chiamata anche optiversione, è diventata la protagonista di un filmato d'animazione denominato The Optiverse, che potete osservare qui sotto.

È evidente che non si possono sfruttare i principi presentati nel filmato per rivoltare un vero pallone sigillato.
D'altronde le palle e i palloni reali non sono costituiti da un materiale in grado di passare attraverso se stesso, ciò implica che nel mondo reale è impossibile invertire questi oggetti senza bucarli!
Concludiamo col valzer op. 235 di Josef Strauss intitolato Sphärenklänge, ovvero "musica delle sfere".

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.104, ospitato sul blog Mr. Palomar di Paolo Alessandrini.