Triangoli e trapani: il triangolo di Reuleaux

Sin da bambini ci viene insegnato che quel poligono geometrico costituito da 3 lati e da 3 angoli è il triangolo.
Ci viene anche spiegato che esistono vari tipi di triangolo, distinzione che viene fatta in base alle caratteristiche degli angoli e dei lati.
Abbiamo, sulla base degli angoli:

• il triangolo rettangolo (presenta un angolo retto, ovvero di 90°);
• il triangolo ottusangolo (ha un angolo ottuso, cioè maggiore di 90°);
• il triangolo acutangolo (con angoli interni tutti inferiori a 90°, acuti appunto).

Dopodiché abbiamo, basandosi sui lati:

• il triangolo equilatero (con tutti e 3 i lati uguali);
• il triangolo scaleno (con tutti e 3 i lati di lunghezza diversa);
• il triangolo isoscele (con 2 lati eguali).

Se si divide un quadrato a metà grazie a una diagonale, abbiamo anche un triangolo rettangolo isoscele!

Alle scuole medie le nostre conoscenze sui triangoli (specialmente quelli rettangoli) si accrescono, grazie soprattutto ai teoremi di Euclide e di Pitagora, e alle superiori magari siamo persino in grado di conoscere tutto di un triangolo, avendo a disposizione i valori di solo un lato e un angolo, grazie agli strumenti della trigonometria.
Meno conosciuto però è un singolare triangolo curvilineo, che viene chiamato triangolo di Reuleaux.
Franz Reuleaux (1829-1905) è stato autore di rilevanti contributi nel campo della storia della tecnica e delle costruzioni di macchine.
Costui cominciò a studiare questo particolare triangolo nel 1875.
Ma come si costruisce la suddetta figura?
Semplice: si ottiene tracciando da ogni vertice di un triangolo equilatero un arco di circonferenza avente per raggio il lato del triangolo e per estremi i vertici opposti.
E voilà:

 

A dispetto di quanto si possa pensare, Reuleaux non è stato il primo a disegnare e analizzare la figura che si otteneva dall'intersezione di 3 circonferenze con centri sui vertici di un triangolo equilatero.

Tuttavia tale triangolo curvilineo ha preso il suo nome perché egli è stato il primo a mostrarne le proprietà di ampiezza costante, oltre che a constatare la sua utilità in applicazioni pratiche. 

Che diavolo significa curva ad ampiezza costante?

Vuol dire che dato un qualsivoglia punto della curva chiusa e considerata la sua distanza massima dagli altri punti, tale distanza è indipendente dal punto scelto.

L'esempio più banale di curva ad ampiezza costante è la circonferenza: il diametro possiede sempre ampiezza 2r, dove r designa il raggio.

Nel caso del triangolo di Reuleaux ciò si traduce nel fatto che la distanza fra un punto del suo contorno e il vertice opposto è sempre la medesima.

Il suddetto triangolo gode inoltre della proprietà di essere inscrivibile in un quadrato di lato d (di lunghezza pari a quella del lato del triangolo) e, provandolo a ruotare attorno al centro, risulta sempre tangente internamente al quadrato stesso, come si può osservare nell'animazione che segue:

In sostanza, la rotazione di un triangolo di Reuleaux spazza approssimativamente l'area di un quadrato.
Questo fatto trova svariate applicazioni.
Numerosi brevetti tecnologici sono infatti dedicati a punte di trapano (sì avete capito bene, ci sono trapani che non producono fori circolari), progettate sulla base del suddetto triangolo curvilineo, le quali producono fori praticamente quadrati (il brevetto statunitense 4.074.778 datato 1978 è uno di questi).
Ma le punte dei trapani rappresentano solamente (scusate il gioco di parole!) la punta dell'iceberg delle molteplici applicazioni di questa figura originale: viene sfruttata per produrre bottiglie dal design innovativo, pattini, lattine per bibite, candele, scaffali girevoli, ingranaggi per scatole di cambio, motori rotativi, armadietti, ecc.
Addentriamoci un pochino nelle peculiarità più tecniche di questo triangolo.
Un particolare teorema, il teorema di Barbier, ci dice che tutte le curve di ampiezza costante pari a r hanno perimetro pari a πr.
Se per la circonferenza quanto detto è immediatamente verificato, per il triangolo di Reuleaux si può constatare che un triangolo equilatero può essere considerato 1/6 di un esagono regolare.
Ne consegue che il triangolo di Reuleaux equivale a 1/6 della circonferenza di raggio r.
Essendo il nostro particolare triangolo costituito da 3 archi di cerchio di raggio r, il suo perimetro sarà pari a 3/6 (cioè 1/2) della misura della circonferenza.
La misura della circonferenza, come ben noto, è pari a 2πr, pertanto il perimetro del triangolo di Reuleaux sarà πr, come volevasi dimostrare!
Un ulteriore teorema che riguarda il nostro triangolo è quello di Blaschke-Lebesgue.
Questo asserisce che il triangolo di Reuleaux è tra tutte le curve ad ampiezza costante quella con area minore.
Tale area si può determinare sommando a quella del triangolo equilatero quelle delle 3 lunette.
Come si trovano le aree delle lunette?
Il procedimento è piuttosto semplice: prendiamo l'esagono regolare inscritto in una circonferenza.

L'area delle lunette non è altro che l'area della semicirconferenza a cui viene sottratta l'area di 3 triangoli equilateri.
In simboli:

Ora per trovare quella del triangolo di Reuleaux sommiamo a tale espressione l'area di un triangolo equilatero (cioè (r²√3)/4):

In definitiva:





In maniera analoga, a partire da un qualunque poligono regolare con un numero dispari di vertici, è possibile costruire i poligoni di Reuleaux con 2n+1 vertici; trattasi sempre di curve ad ampiezza costante.
Sussiste persino un'estensione spaziale del triangolo nelle 3 dimensioni, definita come l'intersezione di 4 sfere di raggio r centrate ai vertici di un tetraedro regolare di lato r: il tetraedro di Reuleaux.

Tuttavia, il tetraedro non è una superficie di ampiezza costante, in pratica ruotata all'interno di un cubo non tocca contemporaneamente le 6 facce.
Per renderla tale richiede una modificazione.
Meissner e Schilling modificarono in modo opportuno la curvatura di 3 dei 6 spigoli realizzando, agli inizi del XX secolo, una superficie di ampiezza costante.
A seconda che si modifichino 3 spigoli con un vertice in comune oppure gli spigoli di un triangolo, ovvero di una faccia del tetraedro, si ottengono 2 solidi non congruenti fra loro, i quali vengono denominati corpi o tetraedri di Meissner.
Concludiamo dicendo che le peculiarità del triangolo di Reuleaux vengono utilizzate pure in ambito musicale: diversi plettri per suonare la chitarra, il mandolino, il basso e altri strumenti a corda posseggono infatti la forma del suddetto triangolo.
L'utilità sta nel fatto che la particolare forma consente di usare i plettri indifferentemente su tutti gli angoli, giacchè hanno pari ampiezza, il che garantisce anche una migliore qualità del suono generato.
E a proposito di chitarra, godetevi l'Adagio dal Concerto di Aranjuez di Joaquín Rodrigo, eseguito da Pepe Romero.

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.85, ospitato da Maurizio Codogno.