Una volta Georg Cantor (il matematico noto specialmente per l'ipotesi del continuo) affermò: "La vera essenza della matematica è la sua libertà".
La libertà, ad esempio, di scagliarsi contro un pilastro storico della geometria come gli Elementi di Euclide e di far scaturire le geometrie non euclidee dalla negazione del V postulato.
Vi ricordate? Ne abbiamo parlato proprio qui sul Tamburo!
Questo post però non riguarda il rapporto tra la libertà e la matematica, bensì cerca di spiegare in maniera comprensibile a tutti un concetto fisico (che però ha attinenze matematiche) noto come libertà asintotica.
Prima di incominciare la trattazione, consiglio al lettore non esperto una lettura del post "L'atomo spiegato a mia nonna!", che consentirà di seguire senza problemi quanto verrà illustrato di seguito.
Quando immaginiamo un'interazione come una forza che si manifesta fra 2 particelle, pensiamo generalmente a esempi come la gravità o l'elettromagnetismo, in cui la forza incrementa la sua intensità al diminuire della distanza tra le particelle.
Il suddetto comportamento però non si sposa con l'interazione nucleare forte, che è appunto caratterizzata dalla cosiddetta libertà asintotica.
Che significa?
Detto in parole povere, ciò significa che le interazioni forti tra (per esempio) i quark sono piccole quando i quark sono vicini fra loro, mentre aumentano se questi ultimi risultano più distanti, un po' come se fossero connessi da degli elastici molto forti.
In altri termini, nel limite asintotico di separazione nulla tra questi quark, le particelle non avvertono alcuna forza e sono totalmente "libere". Se la distanza tra i quark cresce superando i confini del nucleone (ossia del protone o del neutrone che costituiscono), la forza forte tende a stringere la morsa, tenendoli sotto scacco.
La parola "asintoto" (derivante dal greco a-sým-ptōtos, letteralmente "ciò che non interseca") sta a designare una retta o una curva, alla quale un'altra funzione matematica si avvicina indefinitamente senza mai toccarla.
Esistono diverse tipologie di asintoto (orizzontale, verticale, obliquo), come mostra la seguente immagine:
Per comprendere meglio la situazione che si esprime nel concetto di libertà asintotica, andiamo ad analizzare un altro concetto (un po' più semplice) che manifesta un similare limite asintotico: il legame chimico.
Le teorie del legame chimico si basano su 2 fondamenta:
1) legge di Coulomb: regolante il bilanciamento delle forze elettriche (che possono essere attrattive o repulsive). Descrive, in particolare, la relazione di proporzionalità diretta fra la forza elettrostatica e le cariche elettriche, e la proporzionalità inversa tra la medesima forza e la distanza fra le cariche stesse;
2) meccanica quantistica: regola posizione e movimento degli elettroni.
Immaginiamo 2 atomi a grandissima distanza fra loro.
In tal caso abbiamo che le forze di interazione fra le nuvole elettroniche sono nulle e nulla risulta pure l'energia potenziale del sistema.
Supponiamo che i 2 atomi si avvicinino, si determinano ora 2 possibilità:
1) prevalgono le forze repulsive tra le nuvole elettroniche, perciò l'energia del sistema (che è la somma delle forze di attrazione e repulsione) aumenta! Il minimo valore dell'energia (cioè le condizioni di equilibrio del sistema) si ha quando gli atomi risultano lontani e dunque non possono instaurare un legame chimico fra loro. Questo è il caso dei gas nobili, i quali non manifestano tendenza a legarsi e rimangono allo stato monatomico;
2) gli atomi si avvicinano e si ha un'interazione attrattiva fra le nuvole elettroniche (cariche negativamente) e i nuclei (carichi positivamente). L'energia del sistema in tal caso diminuisce fino a quando la distanza non diviene così piccola (tende a 0) che prevalgono le forze repulsive tra le 2 nuvole elettroniche e tra i 2 nuclei. La distanza a cui le forze di attrazione e repulsione si bilanciano e l'energia risulta minima è chiamata distanza di legame e questa situazione implica che tra gli atomi si è formato un legame chimico.
La seguente figura chiarifica quanto appena illustrato:
Entrambe le curve, all'aumentare della distanza r, tendono asintoticamente (asintoto orizzontale) allo 0 (energia potenziale nulla), mentre quando l'energia potenziale tende ad infinito le curve tendono asintoticamente (asintoto verticale) alla retta rappresentante la distanza nulla fra i 2 atomi.
Mettetevi comodi, ora grazie a un passo tratto da Odissea nello zeptospazio di Gian Francesco Giudice, scoprirete la storia della libertà asintotica:
"Prima della scoperta dei quark la situazione riguardo alla forza forte sembrava praticamente disperata, ben riassunta nel 1960 dalle parole del fisico teorico russo Lev Landau: "È ben noto che attualmente la fisica teorica ha quasi perso ogni speranza di riuscire ad affrontare il problema dell'interazione forte...Ormai la sconfitta della teoria è tacitamente accettata anche da quei fisici teorici che proclamano di opporvisi. Ciò è evidente...soprattutto dall'affermazione di Dyson che la teoria giusta non sarà scoperta nei prossimi cent'anni." Invece la teoria giusta fu scoperta solo 13 anni dopo. La scoperta dei quark aveva imposto un certo ordine nel caotico mondo degli adroni, ma aveva anche aperto nuovi problemi [la libertà asintotica]...La libertà asintotica era l'esatto contrario di ciò che si conosceva delle forze fondamentali della natura...Si dava per scontato che qualsiasi teoria quantistica dei campi descrivesse solo forze le cui intensità diminuivano al crescere delle distanze. Anche David Gross (premio Nobel 2004), dell'Università di Princeton, era assolutamente convinto di ciò e iniziò ad analizzare sistematicamente il problema nell'intento di dimostrare rigorosamente che la libertà asintotica era incompatibile con qualsiasi teoria quantistica dei campi. In altri termini, voleva dimostrare che nella teoria quantistica dei campi tutte le forze diventano più deboli all'aumentare della distanza che separa le particelle. Fece rapidi progressi e completò il programma prefissato con una sola eccezione: la teoria di gauge. Dopo il successo ottenuto nella spiegazione delle interazioni elettrodeboli, agli occhi dei fisici il prestigio della teoria di gauge era molto cresciuto ed era indispensabile darsi da fare per escludere anche quest'ultimo caso. Gross e il suo allievo Frank Wilczek (premio Nobel 2004) affrontarono il problema alla fine del 1972; più tardi i 2 appresero che, a Harvard, Sidney Coleman aveva assegnato al suo allievo David Politzer (premio Nobel 2004) un problema quasi identico. I risultati di questi studi furono stupefacenti: i calcoli dimostrarono che in certi casi le teorie di gauge predicevano esattamente il fenomeno della libertà asintotica. "Per me la scoperta della libertà asintotica fu del tutto inaspettata," affermò Gross. "Come un ateo che ha appena ricevuto un messaggio da un roveto ardente, divenni immediatamente un vero credente."
Gli articoli di Gross, Wilczek e Politzer vennero pubblicati a fianco nel numero di giugno 1973 di "Physical Review Letters" e valsero a costoro il premio Nobel per la Fisica nel 2004.
Frank Wilczek (a sinistra) e David Gross (a destra)
Ma che diavolo è la teoria di gauge?
Nel Modello Standard delle particelle le simmetrie sono diverse da quelle ordinarie, esse risultano "ricalibrate" (in inglese gauged, da cui la denominazione "simmetria di gauge").
Questo significa che, data una delle operazioni di simmetria permesse, ad esempio la rotazione su un piano, possiamo applicarla diversamente in vari punti dello spaziotempo, operando, per esempio, una rotazione di 45° in un punto, una di 60° in un altro punto e una di 90° in un terzo punto.
Se procediamo nella suddetta maniera, nonostante la simmetria sia stata applicata in modo non uniforme, le equazioni del moto (governanti la dinamica evolutiva dei campi) non subiscono alcuna variazione e dunque la fisica globale non varia!
Di norma le simmetrie non funzionano in questo modo, a meno che non siano simmetrie di gauge.
Il Modello Standard presenta 4 simmetrie "globali" che non sono di gauge relative alle particelle materiali e alla conservazione di carica.
Esso presenta un'ulteriore simmetria globale non ricalibrata chiamata simmetria di Poincaré.
Quest'ultima riguarda semplici traslazioni (come spostare l'intero Universo di lato di un metro) e rotazioni, in cui il risultato finale porta a una situazione identica a quella che si aveva prima dell'applicazione dell'operazione di simmetria.
Se si desidera che alcune di tali simmetrie siano di gauge, i fisici Chen Ning Yang e Robert Mills giunsero alla conclusione che dobbiamo inserire nella teoria che intendiamo stabilire qualche componente aggiuntivo: i campi di gauge.
Nel Modello Standard, i campi di gauge corrispondono alle simmetrie che sono ricalibrate, ossia alle 3 forze che sono incorporate nel modello (interazione forte, interazione debole e interazione elettromagnetica).
Il Modello Standard risulta dunque essere una teoria di gauge (o teoria di scala), teoria in grado di mantenere la fisica invariata non solo globalmente ma pure localmente!
Ritornando alla libertà asintotica, essa è una manifestazione della cosiddetta cromodinamica quantistica (QCD), che è appunto la teoria fisica descrivente i quark e l'interazione forte.
Quest'ultima è mediata, come sappiamo, dai gluoni, particelle che "incollano" fra loro i quark, originando particelle composte prive di colore dette adroni.
Colore e quark? Che c'entrano?
Quando furono scoperti i quark, sorsero delle questioni spinose.
Per esempio, non si riusciva a spiegare come protoni e neutroni potessero ospitare 2 quark dello stesso tipo (precisamente 2 quark di tipo up nel caso del protone, 2 quark down nel caso del neutrone).
Questo fatto contraddiceva infatti il principio di esclusione stabilito da Wolfgang Pauli, il quale asserisce che 2 fermioni (e i quark sono appunto fermioni) uguali non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quantico!
E allora come è possibile che per esempio 2 quark up riescano a coabitare insieme in un protone?
Nel 1970 il fisico Murray Gell-Mann riftletté su tali questioni problematiche mentre trascorreva l'estate sulle montagne di Aspen, in Colorado.
Egli comprese che il problema del principio di esclusione poteva esser risolto introducendo per i quark un ulteriore proprietà (detto in termini più rigorosi, un numero quantico) che intitolò "colore".
2 quark up possono allora convivere all'interno di un protone se hanno colore differente.
Gell-Mann congetturò che i quark possedessero 3 colori: rosso, verde e blu.
Ecco che così 2 quark up o down simili, nei protoni o nei neutroni, hanno colore diverso e ne deriva la non violazione del principio di esclusione di Pauli.
Un protone, ad esempio, può contenere un quark up rosso, un quark up blu e un quark down verde.
Visto che il colore si applica solamente ai quark, e non a particelle autonome come i protoni, il colore complessivo di una particella autonoma deve essere bianco, in analogia con i colori della luce.
Ergo, una combinazione di 3 quark deve includere il rosso, il verde e il blu.
La nuova teoria sull'interazione forte aveva bisogno di un nome e fu proprio Gell-Mann a proporne uno.
Siccome la teoria quantistica sull'interazione elettromagnetica era chiamata elettrodinamica quantistica (QED), Gell-Mann per analogia considerò la parola greca riferita al colore (ovvero "chroma") e da qui nacque la denominazione cromodinamica quantistica (QCD).
Concludiamo con un video in cui David Gross spiega le basi della cromodinamica quantistica:
Alla prossima!
Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.102 ospitato su Math is in the Air.
Dipende. Per esempio questi sono alcuni modi per scrivere lo stesso numero:
0b10000111, 0207, 0x87, 135.
Ma aspetta mi sono di nuovo limitato a un sottoinsieme, quello che uso, si può scrivere anche così:
&O207, &H87, CXXXV.
L'amico Ponder Stibbons mi dice che manca il sistema dei trolls: uno, due, tanti, un sacco.
OK, torno a noi. Di solito usiamo il sistema con base 10, i decimali. Il sistema a base decimale è recente, ci sono tracce dappertutto di come si faceva prima, chi parla francese sa che dopo 69 viene il difficile, quando ero piccolo a Londra i soldi erano un problema doppio: oltre a non capire cosa diceva la gente vigeva il sistema £sd.
OK, mi sono di nuovo perso, torno a noi, questa volta per davvero.
Consideriamo il numero 135 base 10 come siamo abituati. Possiamo scriverlo come
1 * 100 + 3 * 10 + 5 * 1
o anche
1 * 10^2 + 3 * 10^1 + 5 * 10^0
Ah! per poter scrivere qualsiasi numero abbiamo bisogno di 10 simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
OK? Dai troppo facile, ma era perché adesso volevo fare un passo avanti. Cambiamo la base. Invece di 10 usiamo 8 come si usava nei 'puters quando ero giovane (anzi prima ancora). Invece dei 10 simboli di prima ce ne bastano 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Ma come facciamo a scriverlo? Vi dico come facevo io da piccolo. Guardando la spiegazione per base 10 mi costruisco la tabella delle potenze di 8, così:
n cioè 8^n base-8 0 8^0 1 1 1 8^1 8 10 2 8^2 64 100 3 8^3 512 1000
Prendiamo il nostro numero 135 base 10 e andiamo a trovare nella terza colonna (quella 8^n) il più grande non superiore al nostro numero. Nel nostro caso è 64. Intanto otteniamo subito un'informazione: il numero base-8 avrà 3 cifre (il numero della prima colonna n, aumentato di 1). Poi facciamo 2 semplici calcoli aritmetici:
135 / 64 = 2 + un po'
calcolo il resto:
135 - 64 * 2 = 7
calcolo la cifra successiva del numero ottale, usando la tabella:
7 / 8 = 0 + un po'
e quindi:
7 / 1 = 7
Non mi resta che raccogliere le cfre ottenute ed ecco 207. Facile vero? Crescendo quelli dei 'puters hanno visto che forse sarebbe stato anche meglio usare come base 16 invece di 8. Basta dirlo, presto fatto. Abbiamo bisogno di 16 simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Gli ultimi 6 possiamo scriverli anche minuscoli. Costruisco la nuova tabella:
n cioè 16^n base-16 0 16^0 1 1 1 16^1 16 10 2 16^2 256 100 3 16^3 4096 1000
e per il numero 135 base 10 si ha:
135 / 16 = 8 + resto 135 - 16 * 8 = 7 quindi raccogliendo ho 87.
Quelli dei 'puters usano anche un'altra base (in realtà ne usano diverse altre, ma mi riferisco a quelle più comuni): base 2, quella dei numeri binari. In questo caso la tabella diventa 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Come esercizio controllate se è vero che 135 base 10 diventa 10000111 base 2. Per base 2 c'è un trucco, quello illustrato dall'amico Luigi Bitlux Inannoccaro (rockz! -über), qui.
Ah! 'na roba ancora, anzi due. Per chi usa Linux c'è un tool (antichissimo ma sempre utilissimo): bc che sta per binary calculator:
Ci sono 2 variabili speciali che fanno al nostro caso: ibase o obase, rispettivamente per input- e output-base:
e anche con numeri più grandi, p.es.:
Uh! per bc non è vero che posso usare i simboli minuscoli.
E per chi non ha Linux (poverini!) c'è sempre la Calcolatrice, ditele Visualizza/Programmatore.
Non so se avete sentito l'ultima di Donald, il miglior candidato di sempre, meglio ancora del Senatur, papo del Dr.Trota. Però 'na roba, nèh!
Prma di cominciare ho un problema: si possono scrivere certe parole ontehtoobz? Uhmmm, ci devo pensare su...
Come italiano non posso non rivendicare il merito a chi appartiene. Cose già viste con Meucci/Bell, Marconi/Tesla, et al. ma adesso diamo al Prodigioso FSM (RAmen) quel che è di FSM e a Silvio quel che è di Silvio, cribbio!
Tornando al dunque, nel dubbio faccio come l'antenato che mi viene (a torto, se volete ve la conto) attribuito, me ne lavo le mani, metto il link, vedete voi.
Oggi un quiz (doppio ma facilissimissimo) che se non indovinate siete fortunati che avete trovato due blog über. Pronti? 3, 2, 1: via!
1. queste sono tre slide di un blogger che insegna (anche) e ha scritto almeno un libro di successo (sì, ce l'ho autografato):
2. questa è un'immagine presa dal suo ultimo post "Mi sono reso conto che anche sui grassi e gli oli alimentari la confusione è sovrana per cui ho deciso di iniziare una (lunga) serie di articoli che spieghi, poco alla volta, i fondamenti chimici, le proprietà, le applicazioni, le curiosità e le bufale dei grassi che consumiamo tutti i giorni." Anche lui insegna (anche) e ha scritto più libri (sì ne ho, no, l'ho visto una volta sola al Salone ma era impegnatissimo e io non avevo libri suoi a tiro).
E adesso una cosa completamente differente (quasi-cit.) A confrontarmi con questi mi viene il magone e la disperassione. Certi argomenti (quelli seri) devo lasciarli a loro. E un po' mi dispiace, per esempio non ho visto nessun blogger italiano raccontare di Rosetta come mi aspettavo.
Vabbe', a questo punto lo sapete tutti, ma per sicurezza vi avvisiamo che in questo blog possono esserci cookies. Cliccate qui per accettare, altrimenti qui trovate ulteriori informazioni su privacy e cookie.
