La lossodromia

In questo post andremo a scoprire una particolare curva matematica che risulta fondamentale nientemeno che nel campo della navigazione.

Trattasi della lossodromia, chiamata anche spirale sferica, spirale lossodromica o linea lossodromica, praticamente un tipo particolare di spirale logaritmica.
Ma cos'è di preciso una spirale logaritmica?
È, come aveva già riscontrato il grande matematico e filosofo Cartesio, una particolare spirale che possiede la peculiarità di essere equiangolare, cioè vuol dire che in tutti i suoi punti l'angolo formato da un raggio e dalla retta tangente alla curva nel punto considerato è sempre lo stesso.

Spirale logaritmica

Tale curva è entrata letteralmente nel cuore di un importante matematico svizzero, Jakob Bernoulli (1654-1705), che non solo la definì con l'appellativo spira mirabilis, ossia "spirale meravigliosa", ma, così come Archimede aveva richiesto che sulla sua tomba fosse incisa una rappresentazione della sfera inscritta in un cilindro, allo stesso modo Bernoulli desiderò venire sepolto con la sua adorata spirale.
Inoltre, sulla sua lapide egli avrebbe voluto che apparisse anche il motto Eadem mutata resurgo, ovvero "Pur mutata, rinasco la stessa".
Sarà pure un'iscrizione funebre, però questa frase esplicita in modo chiaro il fatto che la spirale logaritmica sia un frattale, cioè una forma geometrica che si ripete nel medesimo modo a diverse scale di ingrandimento.
Uno dei frattali più celebri è il cosiddetto insieme di Mandelbrot (Benoît Mandelbrot è stato nientemeno che il padre dei frattali) o frattale di Mandelbrot, visibile nel video che segue, accompagnato da un ottimo sottofondo mozartiano:

L'immagine successiva mostra invece alcune spirali logaritmiche che si ritrovano in natura, nello spazio e nell'arte:

Attenzione: in realtà gli ultimi desideri di Bernoulli non si sono pienamente avverati.
Lo scalpellino al quale fu commissionato il lavoro non riportò infatti correttamente la magnifica spirale.

Lapide di Jakob Bernoulli

In effetti, quella che doveva essere una spirale logaritmica perfetta è stata invece realizzata in maniera rozza e approssimata, al punto che la curva presente sulla tomba di Bernoulli può, al massimo, ricordare una spirale di Archimede mal realizzata!

Spirale archimedea

Il matematico inglese John Wallis (1616-1703) scrisse le seguenti parole a proposito della spirale logaritmica:

Habes itaque curvam interminabilem terminatae rectae aequalem

ossia "Hai così una curva che non termina mai, (di lunghezza) uguale ad un segmento finito".
In effetti, la spirale, pur essendo di lunghezza finita, risulta essere illimitata, poiché il suo centro lo si raggiunge soltanto dopo infiniti giri.
Dopo questo excursus relativo alla spirale logaritmica, possiamo tornare al nocciolo della questione: la lossodromia.
Essa è semplicemente la spirale logaritmica che unisce 2 punti qualsiasi sulla superficie terrestre intersecando i meridiani da nord a sud, mantenendo un angolo costante, e arrotolandosi come un colossale serpente attorno alla Terra, il quale stringe le sue spire intorno ai poli, senza tuttavia mai raggiungerli.

Ecco un'altra splendida rappresentazione di una lossodromia:

Vi starete però probabilmente chiedendo perché tale incredibile curva abbia un ruolo rilevante in navigazione.
Un noto metodo di navigazione consiste nel viaggiare sulla rotta più breve tra 2 punti, ovvero lungo un arco di circonferenza massima attorno al pianeta.
Tale metodo garantisce sì che il percorso sia il più breve possibile, però la rotta va continuamente corretta sulla base della lettura della bussola, un compito assai arduo, se non impossibile, per i primi navigatori.
Ciò che garantisce invece un percorso lossodromico è il poter fare costantemente rotta verso lo stesso punto indicato dalla bussola.
Il lato negativo di questa differente prospettiva di navigazione sta nel fatto che il percorso diviene ovviamente più lungo.
Per esempio, immaginate di volervi recare da New York a Londra avvalendovi del suddetto metodo.
Sfruttando la spirale lossodromica, potreste puntare a nord-est con una rotta costante di 73°, senza mai dover compiere correzioni di alcun genere sulla rotta da seguire.
Non deve dunque stupire se, in passato, la navigazione lossodromica è stata quella maggiormente utilizzata in mare aperto e ancora oggi viene sfruttata in svariate situazioni, soprattutto per le brevi distanze.
Ma chi fu colui che per primo "partorì" l'idea di questa strana curva?
Trattasi di un matematico, geografo e cartografo reale portoghese che di nome faceva Pedro Nunes (1502-1578), il quale discusse riguardo alla lossodromia nel Trattato in Difesa delle Carte Nautiche, datato 1537.
Approfondimenti relativi alla lossodromia vennero compiuti successivamente, intorno al 1590, dal matematico e astronomo inglese Thomas Harriot.
Un'ultima curiosità riguardo tale curva: alcuni gruppi musulmani del Nord America, invece di procedere attraverso un percorso più tradizionale e breve, si avvalgono di una spirale lossodromica come "guida", o meglio, qibla (direzione di preghiera) per dirigersi verso la Mecca (in direzione sud-est).
Addirittura, nel 2006, l'agenzia spaziale nazionale malese (MYNASA) sponsorizzò una conferenza atta a determinare la qibla appropriata per i musulmani in orbita!

Qibla

Il post si conclude con un ulteriore simpatico video sulle disavventure in mare dei celebri Topolino, Paperino e Pippo:

Alla prossima!


Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.65, il quale verrà ospitato da Roberto Zanasi sul blog Gli studenti di oggi.