Una superficie magica: la bottiglia di Klein

Cari lettori del Tamburo, oggi parleremo di uno straordinario oggetto matematico, una particolare superficie nota come bottiglia di Klein.
Prima di placare la vostra curiosità riguardo a tale superficie, risulta doveroso introdurre la figura di Klein.
Felix Christian Klein nacque a Düsseldorf il 25 aprile 1849 (data di cui peraltro si è sempre compiaciuto, in quanto ogni elemento è il quadrato di un numero primo, rispettivamente 5, 2 e 43).
Felix era figlio di Caspar Klein, segretario di stato del governo prussiano, e venne alla luce proprio mentre la rivoluzione tedesca contro i Prussiani veniva soffocata.
Dopo aver ottenuto il diploma al Ginnasio di Düsseldorf, frequentò l'Università di Bonn, con l'idea di diventare un fisico.
Divenne assistente di laboratorio di Julius Plücker (1801-1868), che a quel tempo presiedeva la cattedra di matematica e fisica sperimentale a Bonn, ma i cui interessi si erano indirizzati specialmente verso la geometria.
Klein ne subì così tanto l'influsso che decise di scrivere la sua tesi di dottorato, datata 1868, sulla geometria lineare in applicazione alla meccanica.
Tuttavia, nello stesso anno in cui Klein ricevette il dottorato sotto la supervisione di Plücker, quest'ultimo venne a mancare, lasciando tra l'altro incompleta la sua fondamentale opera, Neue Geometrie des Raumes, concernente i fondamenti della geometria lineare.
Fu proprio Klein ad avere il compito e l'onore di rendere completa, per la pubblicazione postuma, questa magistrale opera e tale impegno lo portò a stringere rapporti con Alfred Clebsch (1833-1872), altro grande matematico del tempo, il quale apportò significativi contributi alla geometria algebrica.
Il giovane Klein era intraprendente e pronto ad assimilare nuove idee.
Nell'ottobre del 1869, a Berlino, partecipò ai seminari di Weierstrass e Kummer, e incontrò per la prima volta Sophus Lie.
I 2 studiosi, nonostante le diversità di carattere e i differenti stili nel fare matematica, stabilirono una forte intesa intellettuale, e si ritrovarono assieme a Parigi per quasi 3 mesi, da maggio a fine luglio 1870, quando lo scoppio della guerra franco-prussiana obbligò Klein a fare ritorno in Germania per presentarsi alla chiamata militare.
Durante il soggiorno parigino, i 2 matematici erano entrati in contatto con Jean Gaston Darboux e con Camille Jordan, autore dell'appena pubblicato Traité des substitutions et des équations algébriques, opera che li introdusse ai fondamenti della teoria dei gruppi.
Quest'opera rappresentò una sorta di "illuminazione sulla via di Damasco" per Klein e Lie, i quali non solo applicarono i metodi gruppali a problemi di geometria, ma incominciarono a maturare una nuova visione della matematica che svilupperanno negli anni successivi.
Nel 1871 Klein pervenne a un importantissimo risultato riguardo le geometrie.
Il matematico rese infatti palese che la geometria non euclidea (vi ricordate? ne abbiamo parlato qui) risulta logicamente coerente se lo è la geometria euclidea.
Ciò pose fine alla controversia sullo status delle geometrie non euclidee.
Nel 1872, su raccomandazione di Clebsch, Klein venne nominato, a soli 23 anni, professore di Matematica all'Università di Erlangen.
Nel quadro delle cerimonie di insediamento alla cattedra di professore ordinario, Klein dovette presentare un sunto del suo programma di studio.
In tale bozza, che diventerà famosa come il "programma di Erlangen", il matematico illustrò, facendo sfoggio di una formidabile erudizione, una concezione profondamente unitaria della geometria, concezione che scaturiva dai propri lavori recenti e da quelli di Lie.
Per Klein le geometrie riflettevano le simmetrie, e gli oggetti geometrici, con particolare riferimento alle linee, erano quelli che rimanevano immutati se sottoposti a un determinato insieme di trasformazioni.
Nello specifico, Klein vedeva gli oggetti geometrici alla stregua di invarianti (oggetti che appunto rimangono inalterati a seguito di una trasformazione, come ad esempio, nel caso della geometria euclidea, una traslazione, una rotazione, ecc.) di un gruppo di trasformazione.

Klein arrivò dunque a tracciare un importante ponte tra geometria e teoria dei gruppi.
Quel rivoluzionario articolo era stato scritto per la lezione inaugurale ad Erlangen, ma in realtà Klein non lo presentò in quella occasione.
Egli non si trovava affatto bene in quella cittadina e fu molto felice quando, nel 1875, gli venne offerta una cattedra al Technische Hochschule di Monaco di Baviera.
Qui, insieme al suo collega Alexander von Brill, insegnò corsi avanzati ad un numero più ampio di studenti eccellenti, e il grande talento di Klein nell'insegnare venne totalmente espresso.
Tra questi studenti vi erano nientemeno che Max Planck (padre della Meccanica Quantistica) e Gregorio Ricci Curbastro (sviluppatore del calcolo tensoriale, che tanto aiuterà Einstein nell'arrivare alla sua teoria della relatività generale).
Sempre nel 1875, Klein convolò a nozze con Anne Hegel, nipote del celebre filosofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
5 anni più tardi gli venne assegnata la cattedra di geometria all'Università di Lipsia.
Qui la sua prolificità matematica raggiunse l'apice; si può infatti asserire che nel 1880 Klein avesse "il mondo in pugno".
Aveva attratto numerosi studenti di talento grazie alla sua fama di insegnante eccellente e divenne, in un certo senso, il successore intellettuale del grande Riemann.
Nei primi mesi del 1881 la sua attenzione venne però catturata da 3 brevi note di un certo Henri Poincaré (1854-1912), intitolate Sulle funzioni fuchsiane (da Lazarus Fuchs, professore di matematica ad Heidelberg) e pubblicate negli atti dell'Accademia francese delle scienze.
Klein non aveva mai sentito parlare di questo Poincaré e decise pertanto di scrivergli per saperne di più.
Da quel momento in poi la stella matematica di Klein non avrebbe più brillato e anzi, lui stesso riconobbe in Poincaré il vero erede intellettuale di Riemann.
Ironia della sorte: quell'erede non sapeva quasi nulla dei lavori di Riemann ed era per di più francese!
Nel 1886 Klein fu nominato professore all'Università di Gottinga, dove si concentrò sulle questioni amministrative, istituendo tra l'altro uno dei maggiori centri di ricerca matematica al mondo.
Vi rimase fino al ritiro, per problemi di salute, nel 1913.
Continuò comunque ad insegnare matematica in casa durante la Prima guerra mondiale.
Klein si spense il 22 giugno 1925 a Gottinga.
Bene, ora possiamo finalmente giungere al nocciolo della trattazione.
Come diavolo è fatta questa famigerata bottiglia?
La bottiglia di Klein venne descritta per la prima volta da costui nel 1882.
In realtà tale denominazione è frutto di un fraintendimento, visto che il tedesco Kleinsche Fläche, "superficie di Klein", è stato confuso con Kleinsche Flasche, "bottiglia di Klein", un nome che, ironia del caso, è comunque coerente con il suddetto oggetto geometrico.
Trattasi appunto di un oggetto dall'aspetto di bottiglia in cui il collo flessibile si riavvolge all'interno del corpo principale, generando una forma priva di distinzione tra interno ed esterno.
La bottiglia di Klein è infatti una superficie non orientabile.
Cerchiamo di capire cosa significa questa affermazione.
Consideriamo una superficie geometrica molto semplice, la sfera.
Essa è una superficie orientabile, in quanto immaginando di attaccare in un punto della sfera una freccia che punta verso l'esterno e spostandola lungo la superficie, questa freccia continuerà a puntare verso l'esterno.
Lo stesso accade ad esempio nel caso del toro, oggetto geometrico di cui abbiamo parlato qui.
Se ciò invece non si verifica, allora la superficie si dice non orientabile.
La più famosa tra le superfici non orientabili è il nastro di Möbius, una superficie bidimensionale che si può visualizzare facendo compiere una torsione di 180° a una striscia di carta incollata agli estremi.

Il nastro ha una faccia sola: se vi si posa una freccia che punta a 90° rispetto alla superficie e la si fa scorrere lungo la striscia, ritornerà al punto di partenza, ma puntando nella direzione opposta!
Magico eh?
Quindi, senza passare dal bordo della striscia, teoricamente una formica, camminando lungo la superficie, potrebbe passare dalla parte "di sopra" a quella "di sotto".

Sussiste una strettissima relazione fra la bottiglia di Klein e il nastro di Möbius: dal punto di vista teorico, la bottiglia può essere infatti creata incollando 2 nastri di Möbius lungo i loro bordi.

Il matematico Leo Moser ci ha scritto persino un limerick sul rapporto tra queste 2 incredibili superfici:

A mathematical named Klein
Thought the Möbius band was divine.
Said he: "If you glue
The edges of two,
You'll get a weird bottle like mine".

La traduzione letteraria è:

Un matematico di nome Klein
riteneva che il nastro di Möbius fosse divino.
Disse: "se ne incollate
due lungo i bordi
avrete una bottiglia strana come la mia.

Di seguito una splendida animazione della bottiglia di Klein:

A differenza del nastro di Möbius, non è possibile realizzare concretamente una bottiglia di Klein; sarebbero infatti necessarie 4 dimensioni spaziali, mentre il nostro universo è tridimensionale.
Esistono tuttavia dei modelli concreti approssimativi che si ottengono facendo intersecare con se stessa la bottiglia incurvandola leggermente.
Ecco un modellino in vetro pieno di cioccolatini:

Come scrive Piergiorgio Odifreddi nel suo libro Abbasso Euclide! Il grande racconto della geometria contemporanea:

"La caratteristica mancanza di separazione fra "dentro" e "fuori" della bottiglia di Klein è stata metaforicamente illustrata da Vladimir Nabokov nel romanzo Il dono, del 1937. Il protagonista è uno scrittore che racconta come ha iniziato a scrivere la sua prima opera, e alla fine si scopre che si tratta dell'autore del libro stesso. Il procedimento è poi stato portato alle estreme conseguenze nel 1979 da Italo Calvino, in Se una notte d'inverno un viaggiatore. Passando dalle metafore alla realtà, la più singolare bottiglia di Klein che esista è sicuramente una casa sulla penisola di Mornington, vicino a Melbourne, progettata nel 2008 dagli architetti dello studio McBride Charles Ryan. L'edificio si sviluppa attorno a un cortile, avvolto da una scala rossa a spirale che si autointerseca e collega tutte le stanze della casa, ciascuna delle quali si può considerare sia interna che esterna."

Interno della Klein Bottle House

 E a proposito di case:

Concludiamo con una chicca, un meraviglioso video in cui la strana bottiglia viene percorsa da un ciclista, il tutto accompagnato da un sublime sottofondo rappresentato dalla Variazione Goldberg n.25 di Bach:

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.72, che sarà ospitato da Marco Fulvio Barozzi sul blog Popinga.