(Math) pie

Per quelli che non masticano bene l'inglese, pie significa nientemeno che "torta", "crostata".

Chi tra i lettori del Tamburo ha visionato i miei post, forse penserà che adesso sono impazzito: nelle precedenti occasioni vi ho infatti parlato di momento angolare, von Neumann, Perelman, Meccanica Quantistica e geometrie non euclidee.
Adesso, invece, di torte?

State tranquilli (non fatevi venire l'acquolina in bocca!); le cose non stanno proprio così!
In effetti, quello che intendo per "pie" nel titolo è un'altra cosa: la "crasi" tra pi ed e.
Che diavolo sto dicendo?
Sto alludendo alle 2 costanti matematiche più celebri in assoluto: pi greco e il numero di Nepero.
Pi greco è così famoso che quasi quasi lo salto, anzi no! ;)
Vi presento, infatti, un qualcosa di poco noto legato al pi greco: il teorema di Holditch.
Innanzitutto una domanda: chi diavolo è questo Holditch?
Hamnet Holditch (1800-1867) era un reverendo ed è stato preside del Caius College di Cambridge nella metà del XIX secolo.
Ora scopriamo il suo curioso teorema, pubblicato nel 1858.
Procediamo!
Immaginate una curva chiusa e convessa (potete pensarla come una sorta di uovo).

Ora dovete tracciare una corda (cioè un segmento che unisce 2 punti distinti della curva) dentro questa curva.
Attenzione però: questa corda deve avere una lunghezza costante fissata, perché dovrete farla scorrere all'interno della curva in maniera che le sue 2 estremità tocchino il nostro "uovo-curva" in ogni istante.
Vi faccio vedere ciò che si ottiene con tale procedimento:

Mi raccomando, dunque, la corda deve avere sempre la stessa lunghezza, come se fosse un bastoncino (non azzardatevi per alcun motivo a spezzarlo!).
Il prossimo passo consiste nel segnare un punto sulla nostra corda-bastoncino per far sì che venga suddivisa in 2 parti di lunghezza p e q, come nella seguente immagine:

Come avrete sicuramente notato in precedenza, il metodo consistente nel tracciare corde di lunghezza identica dentro la uovo-curva va a generare, al suo interno, una seconda curva chiusa.
Per non creare confusione, chiamo C₁ la curva iniziale, mentre indico con C₂ la curva al suo interno.
Ora, assumendo che C₁ possieda una forma tale che la corda-bastoncino possa effettuare su di essa un giro completo, il teorema di Holditch afferma che l'area compresa tra le curve C₁ e C₂ risulta equivalente a:




Avete visto? Appare il pi greco!
Ma le cose decisamente più sorprendenti sono certamente le 2 seguenti:

1) l'area compresa tra le 2 curve non dipende dalla dimensione di C₁;
2) quest'area è identica a quella di un'ellisse con semiassi p e q (pur non essendo presente alcun ellisse nel teorema).

Ellisse con semiassi a e b

Bene, spero che abbiate capito (e gradito) questo particolare teorema con π tra i protagonisti.
Se poi volete conoscere la storia della suddetta affascinante costante, allora vi rimando qui.
Ora passiamo alla e!
Quante volte utilizzate la lettera "e" nel corso di una giornata?
Innumerevoli, vero?
Tuttavia, i matematici attribuiscono un significato particolare a tale lettera: e, come anticipato prima, rappresenta il numero di Nepero, ovvero la base dei logaritmi naturali.
Che cos'è un logaritmo?
In termini super semplici, è un'operazione simile a quella di radice.
Quando si afferma che la radice quadrata di 16 è uguale a 4, si sta dicendo che quel numero che, elevato all'esponente 2 della radice, fornisce 16 è 4.
Il concetto di logaritmo è appunto simile: affermare che il logaritmo in base 10 di 100 è equivalente a 2 significa dire che l'esponente a cui bisogna elevare la base 10 per ottenere 100 è proprio 2.
Eccovi la banale formuletta:

Ricapitolando: tramite la radice trovi la base della potenza, mediante il logaritmo trovi l'esponente!
La nostra e non designa però soltanto una base fondamentale per i logaritmi, ma pure la base della famosa funzione esponenziale, una roba che graficamente viene rappresentata così:

Desidero ora farvi vedere una formula (forse la più bella dell'intera Matematica) che non solo riunisce pi greco e numero di Nepero, ma pure altri elementi fondamentali della Matematica:

Trattasi della meravigliosa identità di Eulero!

Eulero con un beretto da baseball!

Ma i cosa diavolo è?
È l'unità immaginaria, utile quando si ha a che fare con radici quadrate di numeri negativi, entrando dunque nel campo dei cosiddetti numeri complessi (per la loro illustrazione, vi rimando alla pagina Wikipedia)!

Lo sapete, inoltre, che la nostra cara e viene chiamata anche numero di Eulero?
Le delucidazioni a riguardo le potete trovare qui.
Avrei terminato questo tour tra le costanti matematiche!
Aspettate un momento però: oggi, 7 maggio, è il compleanno di qualcuno di importante!
In primis, è il 181° compleanno di Carl Gottfried Neumann, matematico tedesco noto (agli esperti) per l'omonima serie, simile a quella geometrica (siccome è semplice, ve la faccio vedere):

Serie geometrica

Una torta per Neumann:

E poi è il compleanno di 2 grandi compositori: Johannes Brahms e Pyotr Ilyich Ciajkovskij.
Per Brahms trattasi del 180° compleanno, mentre per Ciajkovskij del 173°.
Ecco una torta anche per loro:

Colgo l'occasione per riportare uno (a dir poco) straordinario brano di ciascun compositore:

Non posso assolutamente concludere il post senza avervi mostrato questa, ossia la torta dedicata al grande Eulero:

Non dovevo parlarvi di torte, ma, alla fine, sono comunque entrate in scena! ;)
Alla prossima! 

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.61, ospitato da Maurizio Codogno sulle Notiziole di .mau.