Parole matematiche: asteroide

Leggendo il titolo qualcuno dei lettori potrebbe aver pensato: "l'autore del post è pazzo"!
In effetti, la parola "asteroide" è comunemente associata all'astronomia, ai film catastrofici, non alla matematica.

Un asteroide o pianetino è definito, in termini semplici, come un corpo roccioso che vaga nello spazio, generalmente nella cintura o fascia degli asteroidi situata tra l'orbita di Marte e quella di Giove, e che, talvolta, come probabilmente 65 milioni di anni fa, può dirigersi anche sul pianeta Terra e provocare l'apocalisse (poveri dinosauri!).

Tuttavia, pochi sanno che "asteroide" è anche un termine matematico, il quale si riferisce a qualcosa di ben diverso dall'imponente corpo celeste.
L'asteroide, in matematica, è nientemeno che una curva!
In particolare, l'asteroide (detto anche astroide, cubocicloide, tetracuspide o paraciclo, insomma possiamo chiamarlo come più ci aggrada!) è una particolare curva con 4 cuspidi che viene generata da un punto fissato su una piccola circonferenza, la quale ruota come un ingranaggio dentro una circonferenza più grande fissa.
Tutte queste "parolone" diventano in un attimo chiare osservando la seguente animazione:

La curva raffigurata in rosso è proprio l'asteroide.

Tale splendida curva può essere ottenuta, inoltre, anche attraverso un inviluppo di un segmento di lunghezza fissa oppure di una famiglia di ellissi.
Che significa?
Chiariamo che l'inviluppo di una famiglia di curve, ottenute al variare di una certa curva di partenza, è nient'altro che una curva la quale, in ogni suo punto, risulta tangente ad una curva della famiglia.
Consideriamo, relativamente all'astroide, il caso dell'inviluppo di un segmento di lunghezza fissa.
Immaginiamo dunque un segmento di lunghezza costante, che chiamiamo RQ, i cui estremi toccano rispettivamente l'asse delle ordinate e quello delle ascisse, come potete vedere nell'immagine che segue:

Assumiamo ora che i 2 estremi di RQ siano liberi di scorrere ciascuno su un asse cartesiano, in particolare, R sull'asse y e Q sull'asse x.
Se questo segmento RQ comincia a scorrere sul piano cartesiano, mantenendo ovviamente inalterata la sua lunghezza, allora tracciando le linee tangenti ad un estremo (e poi all'altro) man mano che questo si sposta sull'asse di riferimento, si otterrà un particolare inviluppo, l'asteroide appunto.
Tutto ciò viene magnificamente illustrato qui.
Un meccanismo simile accade nel caso della famiglia di ellissi.

L'animazione relativa a tale inviluppo è quella seguente:

La tetracuspide ha catturato l'interesse di svariati matematici nel corso della storia.
Il primo a studiarne le strambe peculiarità fu l'astronomo danese Ole Rømer (1644-1710), noto per esser stato il primo ad effettuare una misura quantitativa della velocità della luce.
Costui, nel 1674, focalizzò la sua attenzione sull'astroide mentre cercava forme maggiormente efficienti per le ruote dentate.
Studi successivi vennero compiuti nel 1691 dal matematico svizzero Johann Bernoulli, nel 1715 dal matematico e filosofo tedesco Gottfried Wilhelm von Liebniz e, nel 1748, dal francese Jean d'Alembert.
La parola moderna "astroide" o "asteroide" compare però solamente nel 1838 in un libro pubblicato a Vienna.
Invece, l'equazione che la rappresenta appare già in una corrispondenza di Leibniz del 1715.
Ma che diavolo di equazione riesce a descrivere questa bizzarra curva dalle proporzioni perfette?
Si potrebbe immaginare qualcosa di complicato, ma, in realtà, la formula descrivente l'asteroide sul piano cartesiano è assai semplice:




dove R non è altro che il raggio della circonferenza fissa (quella più grande) nella definizione vista all'inizio del post.
Ma serve a qualcosa di concreto questo asteroide o rimane un oggetto puramente matematico da ammirare solamente?
Ebbene, in fisica esiste, per esempio, l'astroide di Stoner-Wohlfarth, curva usata per descrivere il comportamento di svariate proprietà dell'energia e del magnetismo.
E poi c'è addirittura un brevetto americano, nello specifico il numero 4.987.984, il quale descrive l'utilizzo di una curva asteroide per un meccanismo meccanico di frizione.
Terminiamo il post alla maniera del Tamburo, cioè con qualcosa di simpatico, altri 2 video "dinosaureschi":

Alla prossima!

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica n.63, che sarà ospitato da Paolo Alessandrini sul blog Mr. Palomar.