Il tweet della nostra preziosa collaboratrice (anche) mi ha scombussolato, assay. Intanto perché l'ho letto di corsa, anzi ne ho letto solo l'incipit. E non ho capito che diceva cliccami che ti racconto, io ce la metto tutta ma sapete com'è: l'età, il caldo, la configurazione astrale e, soprattutto, vivere qui tra i padagni (mai stati leghisti, nèh) hanno le loro conseguenze.
Com'è come non è mi sono messo a pensare al problema e in mattinata ho aprofittato di una corsa sul Sadem per mettere giù una nota che tornato a casa ho messo in bozza e inviato a Nereide (nick fantabuloso). Ora i prof. per bene non smontano mai le pensate dei pupils, anzi li invogliano, li spronano ad approfondire, metti che imparano a ragionare (mai dire mai).
Così mi ha detto, "sì, come ho scritto io, qui, ma tu vai avanti, su!".
E allora ecco quello che avevo messo giù, rivisto appena un pochino.
Quora in Why is 0.99999999999... equal to 1? dice che (riassunto mio, porta passiensa): 0.9 periodico = 1 (asumendo un'infinità di ripetizioni). Dimostrazioni matematiche si trovano in testi dal 1811.
Seguono varie risposte, da leggere, sono tutte interessanti. Non manca chi (in quelle collassate esprime pareri non da matematico, ma si sa la varietà delle opinioni...).
Mi verrebbe da lanciare un asserzione (per induzione, non ho una prova, per adesso): per essere un matematico devi avere un nome che non sai come pronunciare (non farti trarre in inganno dai cinesi, i loro nomi li pronunciano male tutti, forse anche i cinesi).
Vero che si potrebbe chiedere a qualcuno dei nostri: .mau., Zar, Giorgio Goldoni tra quelli che seguo (fin dove ci arrivo, nèh!).
Anzi, credo sia un'idea, poi li mailo, cioè potrei farlo, se avessi il coraggio.
Un'altra mia vecchia conoscenza sul Web è MarkCC, ha trattato l'argomento anche lui, più volte: p.es. qui.
Se posso mettere qualcosa di mio (copiato, mio è solo il parere) sarei con Tommy Nguyen (ecco, vedi questo non è cinese, vietnamese si direbbe, o 'mericano, terrestre va!). Già sentita da anche altri, bella per la sua semplicità:
1/3 = 0.333...
2/3 = 0.666...
---- --------
3/3 = 0.999...
La dimostrazione che 3/3 = 1 viene lasciata al lettore come esercizio.
C'è poi, sempre nella pagina di Quora, l'osservazione di Katie Ford, Fresh College Student: On a calculator, yes. (OK, poi continua dicendo che sì. E poi è giovane, crescerà). Ecco questo m'intriga. Assay. Chissà se...
Non facile, anche perché con il 'puter non potrei accampare scuse alla leggera. Ma qualcosa ho trovato, chissà...
P.S.: sì, le serie infinite ma, ecco, cioè, non possiamo farne a meno?
Io sono ecumenico e ti lascio la scelta:
RispondiElimina- 0,999999... = 1
- 0,999999... ≠ 1
(e per completezza, 1,00 = 1?
Ecco! Lo sapevo!
EliminaGrassie CMQ ;-)
d'altra parte è una delle domande che vengono fatte più spesso...
EliminaAh, oh, eh....
RispondiEliminaDa buon ingegnere, da due punti passa qualunque retta, basta che sia abbastanza spessa.
Figuriamoci se gli sviluppi in serie infinite ci preoccupano, tzé! 0,99... = 1, basta che l'uno sia abbastanza spesso.
Concordo. Per me π quando faccio i conti a memoria vale 3, per l'ordine di grandezza 1. (Sì, abbastanza spesso).
Eliminanon concordo. L'ordine di grandezza di π è √10.
EliminaHey Houston, Marco, Marco Bruno e tutte le donne e gliuomini di buona volontà: abbiamo un problema: i commenti di Marco Bruno finiscono nello spam!
RispondiEliminaMarco dicci come si fa a recuperarli, pliz, l'hai già fatto in passato. Ho provato a guardare tre la impostazioni senza trovare niente.
Fatto.
EliminaQuando ho un attimo cerco di capire perché succede con i commenti di Marco Bruno, nel frattempo:
quando un commento che non dovrebbe finisce nello spam, è sufficiente che vai sul menu "Commenti" e poi su "Spam", cerchi il commento che va pubblicato e quando ci passi sopra con il mouse ti compaiono 2 voci: tu clicchi su "Non spam" e il commento viene automaticamente tolto dalla cartella spam e immediatamente pubblicato.
PS:
torno con calma dopo sul "uno vale uno?"
A me viene in mente (appena finito di rileggere il .mau.) questo:
RispondiEliminaNature and Nature's laws lay hid in night:
God said, "Let Newton be!" and all was light.
It did not last: the devil, shouting "Ho.
Let Einstein be," restored the status quo.
(Alexander Pope & J.C. Squire)
2 o 3 cose (forse anche 4 o più):
RispondiEliminaintanto è vero che questa (insieme a quella di 0^0) è una delle domande che vengono fatte più spesso, il perché non lo so, so solo che poi alla fine ne vengono fuori sempre articoli e discussioni interessanti come questa sul Tamburo.
Aggiungerei anche che per quanto trite e ritrite, ci si può ingegnare per presentarle in modo diverso e in questo Annarita è sicuramente riuscita con il suo bel racconto.
Ho appena finito di leggere i 3 di .mau. e, son quasi certo di prendere bacchettate, ma ci provo:
In Matematica, 0,9 periodico è uguale a 1... infinitesimi e iperreali permettendo. Diversamente, l'uguaglianza non vale in altre discipline dove il numero non è un'entità pura ma il risultato di una misura (es: Fisica) o dove i numeri hanno bisogno di essere rappresentati e questa rappresentazione è limitata dallo spazio a disposizione (es: Informatica)
Poi però, mi accodo a Marco Bruno e, si, è tutta una questione di spessore ☺ (a sapere cosa vogliamo intendere per spessore)
Ho appena pubblicato un post, su Scienza e Musica, con la dimostrazione basata sulla serie geometrica.
RispondiEliminaVisto e letto.
EliminaMi mancano alcuni pezzi per comprenderlo a pieno, ma forse, chissà, domani, un giorno...
Per me una risposta molto bella è questa: se 0.(9) è diverso da 1, cosa c'è in mezzo?
RispondiEliminain mezzo c'è "uno meno un infinitesimo" :-) o se preferisci x/log x cresce meno di x ma più di x^0,(9)
EliminaSai che ho approfondito la faccenda e ho capito che uno meno un qualunque infinitesimo è comunque inferiore a 0.(9)? Se invece prendiamo un numero iperreale con un numero ipernaturale infinito di cifre decimali uguali a nove, allora le cose potrebbero cambiare...
RispondiEliminanon ne sono così certo. Torniamo al nostro x/log x. L'ordine di crescita è sicuramente minore di 1, ma maggiore di 0,999...9 per un numero qualunque di 9, e su questo siamo tutti d'accordo. Dove diavolo lo mettiamo, allora? (il punto è che in realtà dire 0,(9)=1 significa implicitamente ammettere che non ci siano infinitesimi, insomma stiamo facendo un giro tautologico. Almeno IMNHO)
EliminaCredono che il punto stia nel significato che diamo a 0.(9). È vero che l'ordine di x/log(x) è maggiore di 0.99... per un qualunque numero finito di cifre, ma possiamo pensare a iperreali aventi numeri infiniti di cifre 9, tutti diversi tra loro. Uno di questi corrisponderà all'ordine di x/log(x), nessuno di questi sarà uguale a 1. Per il principio di trasferimento, se 0.(9) è uguale a 1 nei reali, lo è anche negli iperreali. Quando torno a casa recupero il librino con la caratterizzazione "decimale" degli iperreali.
EliminaConcordo con Zar quando afferma ...che il punto stia nel significato che diamo a 0.(9). Nel racconto che ho scritto, ho cercato di sottolineare questo aspetto nel seguente passaggio "L’irriducibile ragazzina pensava, infatti, che il vero problema consisteva nel comprendere che cosa fosse in realtà 0,999999999…Insomma si profilava all’orizzonte un enigma in piena regola!". Ovviamente una ragazzina di 12 anni non ha i prerequisiti per portare avanti il ragionamento su numeri reali, infinitesimi e iperreali.
Eliminacontinuo a dire di no. 0,(9) è una notazione, e senza mettere in mezzo Humpty Dumpty la notazione nasce per indicare un processo infinito (il taglio di Dedekind) che funziona solo perché ammettiamo che i numeri reali siano archimedei [*]. Se metti gli iperreali non funziona più, hai detto anche tu che ce ne sono infiniti con infiniti 9... come fai a sceglierne uno come 0,(9)? il trasferimento non c'entra.
Elimina[*] per chi stesse boccheggiando: "archimedeo" significa che per ogni ε maggiore di zero possiamo trovare un intero N tale che ε·N sia più grande di un qualunque numero M: in pratica il concetto di zio Paperone per cui i fantastiliardi si fanno a partire dai centesimi. Con gli infinitesimi non vale perché per quanti infinitesimi metti non arriverai mai ad epsilon.
Sì, il trasferimento non c'entra. Nottetempo ho capito una cosa in più, ma mi serve una tastiera decente per scriverla... Appena posso mi spiego (il succo è che "infiniti" != "tutti").
EliminaJuhan, anche a me quella di Tommy Nguyen sta simpatica;)
RispondiElimina(il succo è che "infiniti" != "tutti")
RispondiEliminasu questo direi che concordiamo pienamente!
Ecco quello che ho capito:
RispondiElimina1) In analisi non standard si definisce somma di una serie la parte standard del numero \sum_{k=0}^N a_k, quando questa esiste e non dipende dal particolare ipernaturale infinito N scelto.
2) 0.(9) è uguale a \sum_{k=1}^N 9/10^k, e qui si usa il principio di trasferimento per fare vedere che 0.(9) = 1
2.1) esplicito: \sum_{k=0}^n 9/10^k = 9/10 + 9/100 + ... + 9/10^n = 9/10*(1 + 10^{-1} + ... + 10^{-n}) = 9/10 * [10^{-n-1}-1]/[1/10-1] = 9/10 * [1-10^{-n-1}]/[9/10] = 1-10^{-n-1}.
2.2) L'espressione precedente è valida nei reali e, quindi, per il trasferimento, negli iperreali. In particolare, se n=N ipernaturale infinito, il risultato è infinitamente vicino a 1, e cioè la sua parte standard è 1. Quindi 0.(9)=1.
3) E' vero che il numero 1-10^{-N-1} è un numero non standard, infinitamente vicino a 1 e minore di 1, ma non lo possiamo scrivere come 0.(9).
4) Scrivere un numero non standard in forma decimale è possibile, ma bisogna stare molto attenti. Per esempio, dato che nei numeri reali esiste la funzione d(x,n) che a ogni numero reale x associa la sua n-esima cifra decimale, per il trasferimento questa funzione può essere estesa anche agli iperreali. Quindi un numero iperreale potrebbe essere scritto in questo modo:
x= t.a_1 a_2 ... ; ... a_N ...
dove il punto e virgola separa i decimali con indice finito dai decimali con indice infinito. Ma non tutte le scritture di questo tipo sono accettabili. Per esempio:
x = 0.000...;...999...
non è un numero. Sembrerebbe "l'ultimo degli infinitesimi", perché certamente è un infinitesimo (è minore di qualunque numero reale), ma se gli sommo un qualunque altro infinitesimo, diventa finito (tutte le cifre 9 producono un riporto che si propaga a sinistra). Ma noi sappiamo che infinitesimo+infinitesimo = infinitesimo.
5) E quindi non hanno nemmeno senso affermazioni di questo tipo:
1/3 = 0.333...;...333...
come se 1/3 fosse composto da una parte reale uguale a 0.333...;...000... e una parte infinitesima 0.000...;...333..., perché se prendiamo quella parte infinitesima e la moltiplichiamo per 3, ritorniamo nell'errore del punto precedente.
Eppure, dato che d(1/3,n) = 3 per ogni n naturale, per il trasferimento d(1/3,N) = 3 anche per ogni ipernaturale infinito N. Questa cosa non me la spiego, e l'unico librino che parla di questo tipo di espansione decimale non spiega di più (non ho i riferimenti qua con me, è un libretto sottile con la copertina blu che ha anche .mau.); mi pare che dica semplicemente "non usate le cifre 9", ma bisogna indagare un po' di più.
6) Conclusione: 0.(9) ha senso nei reali, ma ha meno senso (o forse non ne ha), negli iperreali. E, nei reali, certamente 0.(9) = 1. Se invece prendiamo un numero iperreale con N cifre dopo la virgola uguali a 9, esso è uguale a 1-10^{-N-1} è quindi è minore di 1. Quando dicevo che "infinito" != "tutto" intendevo questo: 1-10^{-N-1} è un numero che ha infinite cifre dopo la virgola uguali a 9, ma non tutte. Arrivate alla posizione N si fermano. E quindi non possiamo scriverlo come 0.(9),
Purtroppo nei commenti non si può usare LaTeX (quella roba lì, 'nsomma). Ma leggere il codice TeX è la parte più facile in fondo ;-)
EliminaEh, lo so, bisogna fare come in Matrix e leggere direttamente il codice :-)
Eliminaquindi 0,(9) sarebbe 0.9999....;000..., il che mi torna.
EliminaEh, mi sa di no, vedi punto 5 dove scrivo"eppure". Ma non mi è per niente chiaro.
EliminaBene, zar! La tua ultima disquisizione è molto interessante, senza ombra di dubbio, ma, dal punto di vista didattico del mio ordine scolastico di riferimento, a me interessa che 0,(9) abbia senso nei reali. E diciamo che qui non ci piove che sia così. Gli iperreali, con annessi infinitesimi, li lascio volentieri a te a .mau.
EliminaGrazie, è stato interessante seguire i vostri ragionamenti;)
Ma che sei diventato grillino Juhan? (uno vale uno...)
RispondiEliminaMolto interessante e chiara la spiegazion di zar.
RispondiEliminaUn saluto
... e mi piacerebbe leggere pure il seguito con la spiegazione del punto 5 :-)
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